Introduction au Sujet Centres Étrangers 2025 (Sujet 2)

Le sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques des Centres Étrangers (Session 2, juin 2025) est un excellent indicateur des tendances pour la session métropolitaine. Équilibré et complet, il balaie les quatre grands thèmes du programme : l'analyse (suites et fonctions), les probabilités (avec une touche de dénombrement) et la géométrie dans l'espace.

Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre la philosophie du sujet et les compétences attendues.

Exercice 1 : Suites Numériques et Modélisation de Populations (6 points)

Cet exercice classique met en scène deux modèles d'évolution de population. C'est un incontournable du Bac.

Les points clés :

• Partie A (Suite Géométrique) : Application directe du cours. Il faut savoir exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et calculer une limite simple ($0,93^n$ tend vers 0).
• Partie B (Suite récurrente $v_{n+1} = f(v_n)$) : C'est le cœur de l'exercice. L'étude de la fonction $f(x) = -0,05x^2 + 1,1x$ permet de valider la stabilité de l'intervalle $[0; 6]$.
• Récurrence et Convergence : On attend ici une démonstration par récurrence pour l'encadrement de la suite, puis l'utilisation du théorème de convergence monotone.
• Théorème du Point Fixe : Pour trouver la limite $\ell$, il faut résoudre $f(\ell) = \ell$. Attention aux solutions (0 et 2), il faut rejeter 0 grâce à l'encadrement prouvé précédemment ($v_n \geqslant 2$).
• Partie C (Python et Seuils) : Un script Python classique de recherche de seuil. Il faut comprendre la boucle while pour déterminer quand une population dépasse l'autre.

Exercice 2 : Fonctions, Logistique et Intégration (6 points)

L'exercice porte sur une fonction de type "logistique", très à la mode pour modéliser des taux d'équipement ou des propagations virales.

Les difficultés et compétences :

• Lecture Graphique vs Calcul : La Partie A mélange lecture graphique (tangente) et calculs de dérivées pour identifier les paramètres $a$ et $b$. Il faut être rigoureux sur le lien entre nombre dérivé et coefficient directeur.
• Étude de Fonction (Partie B) : Étude classique avec exponentielle. Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) est requis pour justifier l'existence d'une solution unique à $f(x) = 0,97$.
• Calcul Intégral (Partie C) : La question subtile est la transformation de l'écriture de $f(t)$ pour faire apparaître la forme $\frac{u'}{u}$. C'est la clé pour trouver la primitive $\ln(1 + \text{e}^{0,2t})$ et calculer la valeur moyenne.

Exercice 3 : Dénombrement et Probabilités (4 points)

Cet exercice est original car il réintroduit du dénombrement pur (Partie A), une notion souvent redoutée, avant de passer aux probabilités classiques.

Analyse par partie :

• Partie A (Base64) : Il faut distinguer les $n$-uplets (avec remise) des arrangements (sans remise). Les questions sur "au moins un A" se traitent souvent plus facilement par l'événement contraire ("aucun A").
• Partie B (Loi Binomiale) : Application standard. Reconnaitre la loi $B(250; 0,01)$. Le piège est souvent dans l'usage de la calculatrice pour les approximations.
• Partie C (Somme de variables) : Une question théorique intéressante sur l'espérance et la variance d'une somme $S = X_1 + ... + X_4$. La clé est l'indépendance des variables, qui permet d'additionner les variances (contrairement aux écarts-types).

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace (4 points)

Un exercice de géométrie très structuré, sans produit scalaire complexe, mais nécessitant une bonne vision dans l'espace.

Le cheminement :

• Équation de plan : Vérifier qu'un vecteur est normal, puis déduire l'équation cartésienne.
• Intersection de plans : On demande de montrer que deux plans sont sécants et de trouver la droite d'intersection $(d)$. Il faut passer du système d'équations cartésiennes à une représentation paramétrique.
• Position relative : La dernière question demande de vérifier si la droite $(d)$ est incluse dans le plan $(ABC)$. Cela revient à vérifier si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, ou si les points de la droite vérifient l'équation du plan.