Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths 2024 - Centres Étrangers (Suède)

Le sujet du Baccalauréat de mathématiques 2024 tombé en Suède (Sujet 1bis) offre un panorama complet et équilibré des notions fondamentales du programme de Terminale. Idéal pour les révisions de dernière minute, il permet de tester la rigueur des candidats sur l'analyse, les probabilités discrètes et la géométrie dans l'espace. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre la philosophie de l'épreuve et déjouer les pièges.

Exercice 1 : Le QCM "Vrai/Faux" Justifié

Cet exercice balaye quatre thèmes distincts. Attention, la consigne exige une justification pour chaque réponse. Le hasard ne rapporte aucun point.

• Affirmation 1 (Équations Différentielles) : On demande de vérifier si une fonction donnée est solution d'une équation linéaire du premier ordre $y' - 2y = -6x + 1$. La méthode la plus sûre n'est pas de résoudre l'équation, mais de calculer la dérivée de la fonction proposée, d'injecter $f(x)$ et $f'(x)$ dans l'équation différentielle et de vérifier l'égalité.
• Affirmation 2 (Suites Géométriques) : Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $0,75$. La compétence clé ici est de connaître la formule de la somme $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ et de savoir étudier la limite d'une suite géométrique dont la raison est comprise entre -1 et 1.
• Affirmation 3 (Algorithmique et Python) : C'est le piège classique. L'élève doit analyser un script censé calculer la somme précédente. Il faut scruter la boucle range(k) et l'indentation. L'erreur se situe souvent dans la gestion des indices ou, comme c'est le cas ici, dans le terme ajouté dans la boucle (variable k utilisée au lieu de i ?). Une lecture attentive du code est indispensable.
• Affirmation 4 (Dérivation et Tangente) : Une question d'analyse pure sur une fonction logarithme. "Tangente parallèle à l'axe des abscisses" est le code pour dire que le nombre dérivé $f'(1)$ doit être égal à 0. Il faut dériver la fonction paramétrée par $a$ et résoudre l'équation $f'(1)=0$.

Exercice 2 : Probabilités et Suites (Le combo classique)

Cet exercice modélise une situation sportive (volley-ball) par des probabilités conditionnelles qui évoluent au cours du temps, menant à une suite arithmético-géométrique.

• Partie A (Arbre et variable aléatoire) : On commence doucement avec un arbre pondéré pour $n=2$. Les questions portent sur les probabilités totales et la loi d'une variable aléatoire $Z$ (loi binomiale déguisée ou simple loi sur un arbre fini). L'espérance s'interprète ici comme le nombre moyen de réussites.
• Partie B (Généralisation) : C'est le cœur de l'exercice. On passe d'un événement probabiliste à une suite récurrente $x_{n+1} = 0,2x_n + 0,4$. La méthode est standard : introduire une suite auxiliaire $u_n = x_n - 0,5$ pour prouver qu'elle est géométrique. La finalité est de trouver la limite de la probabilité de réussite à long terme. C'est un grand classique du Bac qui demande une rédaction impeccable sur la convergence.

Exercice 3 : Étude de Fonction et Modélisation (7 points)

L'exercice le plus dense du sujet, mêlant lecture graphique, étude analytique et calcul intégral.

• Partie 1 (Lecture graphique) : Ne négligez pas cette partie. Elle demande des estimations précises (antécédents, maximum) et une interprétation de la valeur moyenne d'une fonction (intégrale divisée par l'intervalle).
• Partie 2 (Étude analytique) : On étudie une fonction du type $g(t) = (at+b)e^{-kt} + c$. Les compétences testées sont :
  • Le calcul de dérivée avec la règle du produit $(uv)'$.
  • L'étude des variations et des limites.
  • Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour justifier l'existence de solutions à $g(t) = 300$.
  • L'Intégration par Parties (IPP) : C'est le point technique majeur. Savoir primitiver $t e^{-0,01t}$ demande de poser correctement $u$ et $v'$. Une erreur de signe ici peut être fatale.
• Partie 3 (Synthèse) : On utilise les résultats précédents pour valider des critères de certification. C'est une étape de logique où il faut confronter les calculs (intégrales, maximums) aux contraintes de l'énoncé.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace

Un exercice de cinématique dans l'espace. On ne demande pas seulement si deux droites se coupent, mais si deux objets (avions) entrent en collision.

• Paramétrage : Il faut établir les représentations paramétriques des droites (trajectoires). Attention, le paramètre $t$ représente ici le temps, il est donc commun aux deux avions pour l'analyse de la collision.
• Intersection vs Collision : C'est la subtilité de l'exercice.
  1. Les trajectoires se coupent-elles ? (Existe-t-il $t_1$ et $t_2$ tels que $M_1(t_1) = M_2(t_2)$ ?)
  2. Les avions se percutent-ils ? (A-t-on $t_1 = t_2$ à l'intersection ?).
  Il faut résoudre un système d'équations à 3 inconnues ou vérifier la cohérence des paramètres temporels.

Conclusion

Ce sujet de Suède 2024 est un excellent entraînement car il sanctionne la maîtrise technique (IPP, Suites, Dérivées) tout en exigeant une bonne capacité d'interprétation des résultats dans un contexte concret (température, collision).