Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2021 (Métropole, Sujet 1) est un classique incontournable portant sur l'étude des probabilités. Il est divisé en deux parties distinctes qui mobilisent des savoir-faire essentiels du programme de Terminale.

Partie 1 : Probabilités conditionnelles et arbres

La première partie exige une bonne maîtrise de la modélisation d'une situation aléatoire. Les clés pour réussir incluent :

• La construction de l'arbre pondéré : Il faut identifier les événements primaires (ici la sélection sur dossier) et les événements conditionnels (l'admission). Une lecture attentive de l'énoncé permet de placer correctement les probabilités sur les branches.
• La formule des probabilités totales : Pour calculer la probabilité globale d'admission, l'élève doit savoir sommer les probabilités des différents chemins menant au succès (Dossier puis Admis OU Non-Dossier puis Admis).
• L'inversion du conditionnement : La dernière question demande de calculer la probabilité qu'un candidat admis n'ait pas été sélectionné sur dossier. C'est une application directe de la formule de Bayes (ou définition de la probabilité conditionnelle) : $P_A(\overline{D}) = \frac{P(\overline{D} \cap A)}{P(A)}$.

Partie 2 : Loi binomiale et prise de décision

La seconde partie bascule vers la répétition d'épreuves indépendantes, modélisée par la loi binomiale.

• Justification des paramètres : Il est crucial de préciser qu'il s'agit d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes (tirage avec remise ou assimilé) pour définir les paramètres $n$ et $p$.
• Calculs de probabilités : Les questions demandent de calculer la probabilité d'obtenir exactement un succès, ou au moins deux succès. Pour l'événement « au moins deux », le réflexe doit être de passer par l'événement contraire (au plus un, c'est-à-dire 0 ou 1 succès) pour simplifier le calcul.
• Recherche de seuil (Inéquation avec exposant) : La dernière question est un problème d'optimisation courant. On cherche la taille de l'échantillon $n$ pour garantir une probabilité donnée. Cela conduit à résoudre une inéquation du type $1 - P(X=0) \geq 0,99$. La résolution nécessite l'usage du logarithme népérien pour isoler l'inconnue $n$ en exposant, en prenant garde au sens de l'inégalité lors de la division par un logarithme négatif.

En résumé, cet exercice vérifie la capacité à structurer un problème probabiliste et à utiliser les outils d'analyse pour déterminer des seuils de confiance.