Compétences et clés de réussite

Cet exercice de mathématiques, extrait du baccalauréat 2026 d'Amérique du Nord (Sujet 2), constitue une excellente évaluation de vos connaissances transversales en analyse. Il combine astucieusement l'étude d'une fonction irrationnelle, l'analyse d'une suite récurrente, le raisonnement par récurrence, ainsi que des notions pratiques en algorithmique avec un script Python.

Partie A : Étude d'une fonction et calcul de dérivée

La première partie vise à tester votre capacité à manipuler une fonction comportant une racine carrée au dénominateur. La résolution d'une équation du type $f(x) = x$ demande une bonne maîtrise des règles algébriques de base, notamment l'élévation au carré et la factorisation, tout en restant vigilant sur le domaine de validité. Le calcul de la dérivée nécessite d'appliquer correctement les formules de dérivation d'un quotient combinées à celles d'une fonction composée comportant une racine carrée. La simplification algébrique qui s'ensuit est cruciale pour déterminer facilement le signe de la dérivée, et donc le sens de variation de la fonction sur l'ensemble des réels.

Partie B : Suites récurrentes et raisonnement par récurrence

La deuxième partie se concentre sur l'étude d'une suite définie par récurrence. C'est un grand classique de l'épreuve de mathématiques. Vous devrez mobiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer un encadrement des termes de la suite. L'hérédité repose directement sur l'utilisation de la stricte croissance de la fonction étudiée précédemment. Par la suite, le théorème de convergence monotone permet de conclure sur la convergence de la suite. La détermination de la limite fait appel à la résolution de l'équation du point fixe. En complément, l'introduction d'une suite auxiliaire permet d'établir qu'il s'agit d'une suite géométrique. Cette méthode classique donne accès à l'expression de la suite en fonction de $n$, offrant ainsi une alternative algébrique directe pour le calcul de la limite asymptotique.

Partie C : Sommes de termes, encadrements et script Python

La dernière section de l'exercice évalue vos compétences en algorithmique et en manipulation de sommes. Il est attendu de vous de compléter un script en langage Python permettant de lister les sommes partielles successives. Vous devrez comprendre le fonctionnement des boucles for, l'actualisation des variables, ainsi que l'ajout d'éléments dans une liste via la méthode append. De plus, grâce à l'encadrement des termes de la suite obtenu à la question précédente, il est nécessaire de réaliser un encadrement de la somme. Cette approche permet finalement d'appliquer le théorème de comparaison pour déterminer les limites, offrant une clôture élégante et rigoureuse au problème posé.

La réussite de cet exercice repose sur une parfaite lisibilité de la rédaction, la maîtrise des formules de dérivation, l'aisance avec le principe de récurrence et la logique de programmation de base. Prenez le soin de justifier chaque étape, en particulier lors des transitions logiques complexes et des applications de théorèmes fondamentaux.