Compétences et clés de réussite
Cet exercice se présente sous la forme d'un Vrai/Faux comportant cinq affirmations indépendantes. Il s'agit d'un format très classique de l'épreuve du baccalauréat de mathématiques, conçu pour balayer un large spectre du programme en un seul exercice. La règle d'or pour ce type de question est la rigueur de la justification. En effet, une réponse exacte qui ne serait pas accompagnée d'une démonstration ou d'un argument mathématique valable ne rapportera aucun point. Il est donc indispensable d'adopter la bonne stratégie de résolution : pour prouver qu'une affirmation est vraie, il faut dérouler une démonstration générale et rigoureuse ; pour prouver qu'elle est fausse, un simple contre-exemple peut parfois suffire, bien que dans le cas présent, des calculs directs et des études de fonctions soient nécessaires.
Vérification d'une solution d'équation différentielle
La première affirmation teste vos compétences sur les équations différentielles linéaires du premier ordre. L'objectif n'est pas de trouver l'ensemble des solutions de l'équation avec second membre, mais de vérifier si la fonction proposée par l'énoncé en fait partie. La méthode la plus directe et la plus sûre consiste à calculer la dérivée de la fonction donnée, puis à remplacer la fonction et sa dérivée dans l'expression de l'équation différentielle. Vous devrez mobiliser vos connaissances sur la dérivation des fonctions exponentielles composées et des fonctions trigonométriques pour conclure quant à l'égalité avec le second membre.
Analyse des variations et intersection de courbes
La deuxième affirmation s'intéresse à la recherche des points d'intersection entre deux courbes représentatives, l'une associée à une fonction linéaire et l'autre à une fonction trigonométrique. Pour déterminer le nombre exact de points d'intersection, la résolution algébrique directe étant complexe, il faut passer par l'étude d'une fonction auxiliaire représentant la différence des deux fonctions initiales. Après avoir calculé la dérivée de cette nouvelle fonction, l'étude de son signe vous donnera ses variations. C'est à ce stade que le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection) intervient, couplé à une bonne maîtrise des minorants et majorants de la fonction cosinus.
Étude de la convergence avec le théorème des gendarmes
Les affirmations suivantes se concentrent sur le comportement asymptotique des suites numériques. Lorsqu'une suite contient un terme oscillant tel que le sinus ou le cosinus, la recherche directe de limite est impossible. Il est alors incontournable de recourir au théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement). La méthode consiste à encadrer la fonction sinus entre -1 et 1, puis à construire pas à pas les inégalités pour encadrer le terme général de la suite. L'analyse des limites des suites encadrantes permettra alors de conclure sur la convergence ou la divergence de la suite étudiée.
Raisonnement par récurrence et suites géométriques
L'avant-dernière affirmation sollicite votre capacité à rédiger un raisonnement par récurrence complet. Pour valider l'expression explicite d'une suite définie par une relation de récurrence, vous devez structurer votre démonstration en respectant les trois étapes fondamentales : l'initialisation, l'hérédité et la conclusion. Enfin, la dernière question porte sur la somme des termes d'une suite. Il est essentiel de reconnaître d'abord la nature de la suite impliquée, qui s'avère être une suite géométrique. L'application de la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique, suivie du calcul de la limite de cette somme, permet de clore l'exercice. Cette étape fait appel à vos connaissances sur le comportement asymptotique des suites dont la raison est strictement comprise entre -1 et 1.