Analyse du Sujet Bac Spécialité Maths – Amérique du Sud (Septembre 2022)

Le sujet de la session de remplacement Amérique du Sud 2022 est un excellent entraînement pour les élèves de Terminale. Il couvre les quatre piliers majeurs du programme de Spécialité Mathématiques : les Probabilités conditionnelles et discrètes, l'Analyse de fonctions avec logarithme, les Suites numériques modélisant des évolutions, et la Géométrie dans l'espace. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre la philosophie de l'épreuve et les compétences attendues.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale

Cet exercice est un classique absolu du Bac. Il se découpe en trois parties distinctes :

• Partie A : Probabilités conditionnelles. L'exercice commence par une modélisation via un arbre pondéré. La difficulté principale réside dans la lecture attentive de l'énoncé pour distinguer les probabilités conditionnelles ($P_A(B)$) des intersections ($P(A \cap B)$). L'utilisation de la formule des probabilités totales est requise pour calculer la probabilité globale d'un défaut.
• Partie B : Loi Binomiale. On passe à la répétition d'épreuves indépendantes (constitution de lots). Il faut savoir justifier l'usage de la loi binomiale (paramètres $n$ et $p$). La question 2 demande une inversion du problème : trouver $n$ tel que la probabilité soit supérieure à un seuil, ce qui nécessite souvent l'usage des logarithmes ou d'essais successifs si la méthode n'est pas imposée.
• Partie C : Variable aléatoire et Espérance. Une question rapide sur le calcul d'un coût moyen, qui fait appel à la notion d'espérance mathématique pondérée par les probabilités d'origine des pièces.

Exercice 2 : Étude de Fonction (Logarithme) et Convexité

C'est l'exercice d'analyse pure. Il met en jeu la fonction logarithme népérien ($\ln$).

• Partie A : Fonction auxiliaire. Une structure très fréquente au Bac : on étudie d'abord une fonction $g$ (dérivée, variations) pour déterminer son signe. Ici, le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) est indispensable pour isoler la racine $\alpha$.
• Partie B : Fonction principale $f$. Les élèves doivent maîtriser les limites, notamment les croissances comparées en $+\infty$ et la limite en $0$ (savoir que $\lim_{x \to 0} x \ln(x) = 0$). Le lien entre la dérivée $f'(x)$ et la fonction auxiliaire $g(x)$ permet de déduire les variations.
• Convexité : L'originalité ici est que la dérivée seconde $f''(x)$ est donnée. L'élève n'a pas à la calculer (ce qui évite les erreurs de calcul) mais doit savoir l'interpréter pour trouver le point d'inflexion.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique

Cet exercice propose une modélisation écologique (population d'une espèce). C'est un problème de suite arithmético-géométrique ($u_{n+1} = a u_n + b$).

• Raisonnement par récurrence : Il est demandé pour prouver la décroissance ou la minoration de la suite. C'est une compétence rédactionnelle majeure.
• Passage à la limite : L'introduction d'une suite auxiliaire géométrique $(v_n)$ est la méthode standard pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et trouver la limite de la population à long terme (état stable).
• Python : La dernière partie demande de compléter un script de seuil. Il faut comprendre la boucle while : tant que la population est supérieure au seuil critique, on continue d'avancer dans le temps.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace

Un exercice très complet qui balaie presque tout le chapitre de géométrie vectorielle.

• Équation de plan : Il faut d'abord vérifier qu'un vecteur donné est normal au plan (via le produit scalaire), puis en déduire l'équation cartésienne du plan $(ABC)$.
• Droite et Paramétrage : L'élève doit savoir donner la représentation paramétrique d'une droite passant par deux points.
• Produit scalaire et Angles : Le calcul du produit scalaire permet ici de déduire une mesure d'angle géométrique, une application directe des formules du cours.
• Projeté orthogonal : La dernière question est la plus technique. Elle demande de prouver qu'un point $H$ est le projeté orthogonal (vérifier l'alignement avec le vecteur normal et l'appartenance au plan) pour ensuite calculer la distance d'un point à un plan.