Compétences et clés de réussite
Cet exercice classique du baccalauréat s'articule autour de deux approches fondamentales en mathématiques appliquées : la modélisation discrète et la modélisation continue. Les candidats au Bac 2026 de Métropole (Sujet 2) y sont confrontés à travers l'étude de la concentration d'un polluant dans un bassin piscicole. Ce problème requiert une solide maîtrise des suites numériques, de l'algorithmique en Python, ainsi que des équations différentielles linéaires du premier ordre.
Partie A : Modèle discret, suites et algorithmique
Dans la première partie, la modélisation du volume de polluant repose sur une suite récurrente linéaire de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$. Cette section permet d'évaluer plusieurs compétences essentielles :
- Calcul des premiers termes et algorithmique : Il s'agit dans un premier temps de déterminer les premiers termes de la suite afin d'appréhender le comportement du modèle. Une compétence clé est la capacité à traduire cette définition mathématique en un programme Python utilisant une boucle
for. Comprendre comment initialiser et actualiser une variable au sein de la boucle est primordial.
- Raisonnement par récurrence : Le cœur de cette partie consiste à démontrer par récurrence que la suite est à la fois croissante et majorée par une constante. Ce raisonnement en trois étapes (initialisation, hérédité et conclusion) demande rigueur et précision dans la manipulation des inégalités, en s'appuyant sur les propriétés algébriques de la relation de récurrence.
- Convergence d'une suite monotone : En appliquant le théorème de la limite monotone (une suite croissante et majorée converge), l'élève doit justifier l'existence d'une limite. La détermination de cette limite s'effectue ensuite en résolvant l'équation de point fixe $L = a L + b$, ce qui nécessite d'invoquer la continuité de la fonction associée ou le théorème du point fixe.
Partie B : Modèle continu, équations différentielles et fonctions exponentielles
La seconde partie propose une approche alternative à l'aide d'une modélisation continue par équation différentielle. Cette partie mobilise les connaissances de l'analyse fonctionnelle :
- Résolution d'une équation différentielle du premier ordre : Les candidats doivent d'abord identifier le type d'équation différentielle étudiée ($y' = ay + b$) et en donner la forme générale des solutions sur un intervalle donné. La difficulté réside dans l'application correcte de la formule du cours, incluant la constante d'intégration.
- Détermination de la solution particulière : À l'aide de la condition initiale (le volume initial de polluant à $t=0$), on déduit la valeur de la constante pour aboutir à l'expression explicite de la fonction qui modélise le volume du polluant en fonction du temps, faisant intervenir une fonction exponentielle de base $e$.
- Étude fonctionnelle et limites : Il est ensuite demandé de calculer la limite en l'infini de la fonction, ce qui nécessite de maîtriser les limites usuelles de la fonction exponentielle. L'étude du sens de variation passe logiquement par l'analyse du signe de la dérivée.
- Résolution de problèmes concrets et inéquations : L'exercice s'achève par l'interprétation concrète des résultats mathématiques. L'élève doit résoudre une inéquation du type $v(t) > S$ pour trouver l'instant où un seuil critique est dépassé, en utilisant notamment la fonction logarithme népérien ($\ln$) pour isoler l'inconnue située dans l'exposant. Une conversion de la valeur décimale trouvée en heures et minutes est exigée, ce qui fait appel aux compétences de calcul sur les durées.
En somme, cet exercice est un excellent entraînement pour réviser à la fois les suites arithmético-géométriques et les équations différentielles, deux piliers du programme de spécialité mathématiques. La maîtrise des ponts entre algorithmique, démonstrations rigoureuses et interprétations concrètes est indispensable pour réussir avec brio cette épreuve.