Compétences et clés de réussite

Cet exercice, issu de l'épreuve du Baccalauréat Centres Étrangers 2024 (Sujet 2), est un problème d'analyse classique mais complet. Il mobilise l'ensemble des compétences attendues en Terminale sur l'étude des fonctions, spécifiquement celles impliquant la fonction exponentielle. Pour réussir ce type d'exercice, une maîtrise rigoureuse du calcul algébrique et une bonne compréhension des concepts graphiques sont indispensables.

1. Maîtrise des limites et interprétation graphique

La première partie de l'exercice demande de déterminer les bornes de la fonction. Le candidat doit être capable de calculer des limites aux bornes de l'ensemble de définition (ici en $-\infty$ et en 1). La gestion de la limite en 1 nécessite de reconnaître la forme qui mène à une asymptote verticale, tandis que la limite en l'infini fait appel aux croissances comparées ou aux règles opératoires usuelles sur l'exponentielle. L'interprétation graphique (asymptotes) est une compétence clé pour visualiser le comportement de la courbe.

2. Dérivation et étude des variations

Le cœur de l'exercice repose sur le calcul de la dérivée $f'(x)$. Ici, la fonction se présente sous la forme d'un quotient $u/v$. La maîtrise de la formule de dérivation d'un quotient est donc cruciale. Une erreur de signe à cette étape compromet la suite. Une fois la dérivée établie, l'étude de son signe permet de dresser le tableau de variations. Il est essentiel de justifier le signe du numérateur et du dénominateur (souvent un carré, donc positif) pour conclure rigoureusement sur les variations de $f$.

3. Convexité et position relative

L'exercice guide les élèves vers l'étude de la dérivée seconde $f''(x)$. Cette étape évalue la capacité à faire le lien entre le signe de la dérivée seconde et la convexité de la fonction. Savoir qu'une fonction est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive est un point de cours fondamental. De plus, l'exercice demande de déterminer l'équation d'une tangente et d'utiliser la propriété de convexité pour en déduire une inégalité. C'est une application directe du fait que la courbe d'une fonction convexe est située au-dessus de ses tangentes.

4. Théorème des valeurs intermédiaires

La dernière partie fait appel au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (souvent appelé théorème de la bijection) pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation $f(x) = k$. La rédaction doit être précise : continuité, stricte monotonie et appartenance de la valeur cible à l'intervalle image sont les trois piliers de la justification. Enfin, l'utilisation efficace de la calculatrice pour obtenir un encadrement (balayage ou tableau de valeurs) est une compétence technique attendue pour clore l'exercice.