Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, issu du sujet 1 du Baccalauréat 2024 en Métropole, mobilise un large éventail de compétences fondamentales pour les élèves de Terminale spécialité Mathématiques. Il s'agit d'un problème classique d'analyse vectorielle et métrique dans un repère orthonormé, structuré en plusieurs étapes progressives allant de la caractérisation d'un plan au calcul de distances via des volumes.

Maîtrise des vecteurs et des équations de plans

La première partie de l'exercice demande de vérifier qu'un vecteur est normal à un plan. Pour réussir cette étape, le candidat doit démontrer que le vecteur proposé est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (formés par les points donnés). La maîtrise du produit scalaire est ici indispensable. Une fois le vecteur normal validé, l'élève doit être capable de déterminer l'équation cartésienne du plan de la forme ax + by + cz + d = 0, une compétence standard exigible au baccalauréat.

Intersection droite-plan et projection orthogonale

La seconde partie introduit une droite définie par une représentation paramétrique. L'interaction entre cette droite et le plan précédemment étudié permet de déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. C'est un point clé de la géométrie analytique : savoir injecter les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan pour trouver la valeur du paramètre t. De plus, la notion de projeté orthogonal est abordée. Le candidat doit comprendre que si le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan, alors la droite est perpendiculaire au plan, définissant ainsi la projection orthogonale.

Calculs d'aires et de volumes

L'exercice évolue ensuite vers des calculs géométriques. Il est demandé de prouver la nature d'un triangle (rectangle) pour en calculer l'aire. La rigueur est de mise pour calculer les normes des vecteurs ou utiliser le produit scalaire pour prouver l'orthogonalité. Ensuite, le calcul du volume d'un tétraèdre est requis. La formule V = (1/3) × Base × Hauteur doit être connue, mais la difficulté réside souvent dans l'identification correcte de la hauteur et de la base correspondante dans l'espace 3D.

Déduction de distances par méthode des volumes

Enfin, la dernière question illustre une méthode classique et élégante souvent présente dans les sujets de type "Sujet 1" ou "Sujet 2" : utiliser le volume du tétraèdre, calculé précédemment, pour déduire une distance inconnue (la hauteur issue d'un autre sommet). En exprimant le volume de deux manières différentes (en changeant la base considérée), l'élève peut isoler la hauteur cherchée (distance d'un point à un plan). Cette démarche demande une bonne vision dans l'espace et une capacité à manipuler les égalités pour extraire l'information souhaitée sans refaire tous les calculs analytiques.