Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Suède, Sujet 1) propose une étude classique de modélisation thermique à l'aide de fonctions exponentielles. Il mobilise un large éventail de compétences, allant de la lecture graphique au calcul intégral avancé.

1. Lecture graphique et interprétation (Partie 1)

La première partie évalue votre capacité à extraire des informations d'une courbe représentative. Les points clés incluent :

• Repérer le maximum d'une fonction sur un graphique.
• Résoudre graphiquement des inéquations du type $f(x) > k$.
• Comprendre le lien géométrique entre l'intégrale et l'aire sous la courbe pour estimer une valeur moyenne.

2. Étude analytique complète (Partie 2)

Cette section est le cœur mathématique du sujet. Pour réussir, vous devez maîtriser :

• Les limites : L'étude en $+\infty$ fait apparaître une forme indéterminée. Il est nécessaire de connaître les croissances comparées, notamment $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0$.
• La dérivation : La fonction est de la forme $u \times v$. L'application rigoureuse de la formule $(uv)' = u'v + uv'$ est indispensable, suivie d'une factorisation par l'exponentielle pour étudier le signe de la dérivée.
• Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Pour montrer que l'équation $g(t) = 300$ admet deux solutions, il faut dresser le tableau de variations complet et vérifier les conditions de continuité et de stricte monotonie sur les intervalles concernés. L'utilisation de la calculatrice est requise pour l'encadrement.
• L'intégration par parties (IPP) : Le sujet demande explicitement d'utiliser cette technique pour calculer l'intégrale. Il faut savoir poser correctement $u(t)$ et $v'(t)$ pour simplifier l'expression sous l'intégrale.

3. Modélisation et prise de décision (Partie 3)

Cette dernière partie demande de synthétiser les résultats précédents pour valider des critères techniques. Il s'agit de faire le lien entre les objets mathématiques (maximum, antécédents, intégrale) et les grandeurs physiques (température maximale, durée de chauffe, température moyenne). Une lecture attentive des unités (minutes vs heures) est cruciale pour éviter les erreurs d'interprétation.