Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2024 (Métropole Sujet 2) propose une étude classique de modélisation mathématique appliquée à une situation concrète : l'évolution du taux de chlore dans une piscine. Il se divise en deux parties indépendantes, l'une traitant un modèle discret via les suites numériques, et l'autre un modèle continu via les équations différentielles. Voici les savoir-faire essentiels pour réussir cet exercice.

1. Étude de suites et raisonnement par récurrence

La première partie exige une maîtrise solide des suites arithmético-géométriques de la forme $v_{n+1} = a v_n + b$. Les candidats doivent être capables de :

• Modéliser une situation : Comprendre comment une variation fixe et un coefficient multiplicateur se traduisent en relation de récurrence.
• Démontrer par récurrence : C'est un point clé. Il faut prouver une double inégalité ($v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 4$) en respectant rigoureusement les étapes : initialisation, hérédité et conclusion. Cela permet d'établir à la fois la monotonie et le caractère borné de la suite.
• Convergence des suites : Utiliser le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge) est indispensable ici. Le calcul de la limite se fait ensuite en résolvant l'équation $L = f(L)$ liée à la relation de récurrence.

2. Algorithmique et programmation Python

L'exercice intègre une question d'algorithmique. Il s'agit de compléter une fonction Python destinée à déterminer un seuil (le plus petit entier $n$ pour dépasser une valeur). La clé est de comprendre la structure de la boucle while. Tant que la condition n'est pas remplie (ici, tant que le taux est inférieur ou égal au seuil), on continue d'itérer en mettant à jour le rang $n$ et la valeur de la suite.

3. Équations différentielles et modèle continu

La seconde partie bascule sur l'analyse, avec une fonction solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants ($y' = ay + b$). Les compétences requises sont :

• Résolution de l'équation différentielle : Savoir retrouver la forme générale des solutions $f(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$. Ici, le coefficient $a$ est négatif, ce qui implique une décroissance de l'exponentielle.
• Calcul de limites : L'étude du comportement asymptotique (en $+\infty$) de la fonction exponentielle est nécessaire pour déterminer la valeur de stabilisation du taux de chlore.
• Détermination des constantes : Il faut savoir traduire les conditions initiales (valeur à $t=0$) et les conditions limites (stabilisation à long terme) en un système d'équations pour trouver les valeurs des inconnues $C$ et $q$.

En résumé, cet exercice demande de savoir naviguer entre le discret et le continu, en appliquant des théorèmes d'analyse fondamentaux tout en gardant un œil critique sur le contexte physique (unités, cohérence des résultats).