Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022 (Asie, Sujet 2) est un classique de l'analyse en Terminale, centré sur l'étude approfondie d'une fonction logarithme composée avec un polynôme du second degré. Il mobilise un large éventail de compétences, allant de l'intuition graphique à la rigueur algébrique.

Lecture graphique et lien fonction-dérivée

La première partie de l'exercice teste la capacité de l'élève à interpréter des courbes. La compétence clé ici est de savoir relier les variations d'une fonction $f$ au signe de sa dérivée $f'$. Il ne s'agit pas simplement de regarder les courbes, mais de justifier l'identification en observant, par exemple, les intervalles de croissance de l'une correspondant aux valeurs positives de l'autre. La lecture graphique de la convexité demande également une bonne compréhension visuelle des points d'inflexion ou de la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

Étude analytique et fonction logarithme

La seconde partie entre dans le cœur du programme avec l'étude de la fonction $f(x) = \ln(x^2 - x - 6)$. Les élèves doivent maîtriser :

• Le domaine de définition : Savoir résoudre une inéquation du second degré pour déterminer quand l'argument du logarithme est strictement positif.
• Les limites et asymptotes : Manipuler les limites de fonctions composées (limite du polynôme puis du logarithme) et en déduire la présence d'asymptotes verticales.
• La dérivation : Appliquer rigoureusement la formule de la dérivée d'une fonction composée $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. C'est une étape cruciale pour l'étude des variations.

Théorème des valeurs intermédiaires et convexité

L'exercice se termine par deux notions avancées. D'une part, l'application du Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour justifier l'unicité d'une solution à l'équation $f(x)=k$, couplée à une recherche numérique à la calculatrice. D'autre part, l'étude de la convexité via le calcul de la dérivée seconde $f''$. Cette dernière étape demande une grande rigueur dans le calcul formel (dérivée d'un quotient) et l'étude de signe d'un polynôme.

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de soigner la rédaction, notamment dans les justifications des limites et l'application des théorèmes d'existence.