Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022, tiré du sujet 1 d'Amérique du Nord, est un classique de l'analyse mathématique appliquée à la modélisation. Il aborde l'étude d'une suite définie par récurrence (de type arithmético-géométrique) dans le contexte concret de la loi de refroidissement de Newton. Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale.

1. Maîtrise du raisonnement par récurrence

La première partie exige une démonstration rigoureuse par récurrence. L'objectif est de prouver une propriété d'inégalité pour tout entier naturel. Il est crucial de bien structurer sa réponse en trois étapes claires : l'initialisation (vérification au rang 0), l'hérédité (hypothèse de récurrence et démonstration au rang n+1) et la conclusion. Une attention particulière doit être portée à la manipulation des inégalités lors de l'étape d'hérédité.

2. Étude des variations et convergence

L'élève doit savoir étudier le signe de la différence entre deux termes consécutifs ($T_{n+1} - T_n$) pour déterminer le sens de variation de la suite. L'utilisation du théorème de convergence monotone (toute suite décroissante et minorée converge) est ici indispensable pour justifier l'existence d'une limite finie sans nécessairement la calculer immédiatement.

3. Passage par une suite auxiliaire

Une technique standard pour étudier les suites de la forme $u_{n+1} = au_n + b$ consiste à introduire une suite auxiliaire géométrique. Ici, la suite $(u_n)$ permet de simplifier le problème. Le candidat doit démontrer que cette nouvelle suite est géométrique en calculant le rapport constant entre deux termes successifs. Cela permet ensuite d'exprimer le terme général en fonction de $n$, puis de remonter à l'expression explicite de la suite initiale $(T_n)$.

4. Calcul de limites et interprétation

Le calcul de la limite fait appel aux propriétés des suites géométriques dont la raison est comprise entre -1 et 1. Au-delà du calcul, l'exercice demande une interprétation concrète du résultat : la température du gâteau tend vers la température ambiante. C'est un lien essentiel entre le modèle mathématique et la réalité physique.

5. Inéquations et Algorithmique

La résolution de l'inéquation $T_n \leqslant 120$ nécessite souvent l'utilisation du logarithme népérien pour isoler l'inconnue $n$ en exposant. Enfin, la partie algorithmique en Python teste la capacité à lire et interpréter une boucle while. Il s'agit de comprendre que la fonction cherche le premier rang (ou la durée en minutes) à partir duquel la température passe sous un certain seuil. Une lecture attentive de la condition d'arrêt est primordiale pour donner la bonne valeur de retour.