Compétences et clés de réussite

Cet exercice de probabilités, tiré du sujet 1 de Métropole (septembre 2022), est un classique du Baccalauréat. Il mobilise l'ensemble des notions fondamentales du programme de spécialité mathématiques concernant les probabilités discrètes. Voici les points techniques essentiels pour réussir ce type d'épreuve.

1. Modélisation par arbre pondéré et probabilités conditionnelles

La première étape consiste à traduire l'énoncé en langage probabiliste. La difficulté principale réside souvent dans l'interprétation des données textuelles pour remplir l'arbre pondéré. Ici, l'énoncé donne une probabilité d'intersection $P(\overline{M} \cap \overline{G}) = 0,06$ (clients ne faisant aucune visite). C'est une clé cruciale : elle permet, via la formule des probabilités conditionnelles $P_A(B) = P(A \cap B) / P(A)$, de déduire les branches manquantes de l'arbre, notamment celles conditionnées par le non-choix du musée.

Pour la suite, l'utilisation de la formule des probabilités totales est indispensable pour calculer la probabilité marginale de visiter la grotte, $P(G)$, en sommant les chemins de l'arbre qui mènent à l'événement $G$.

2. Variable aléatoire et Espérance

La seconde partie introduit une variable aléatoire $T$ représentant une dépense. La réussite dépend de votre capacité à associer correctement chaque issue de l'expérience (chaque chemin de l'arbre ou combinaison d'événements) à une valeur monétaire précise (Somme des tickets, un seul ticket, ou zéro). Il faut construire la loi de probabilité sous forme de tableau avant de calculer l'espérance $E(T)$.

Une question classique d'optimisation suit : il s'agit de retrouver une inconnue (le prix de la grotte) pour atteindre une espérance cible. Cela revient à résoudre une équation linéaire du premier degré où l'espérance est exprimée en fonction de ce prix inconnu.

3. Répétition d'épreuves et Loi Binomiale

La dernière question aborde l'échantillonnage de 100 clients. Les mots-clés « au hasard », « tirage avec remise » (ou assimilé) et le fait qu'il n'y a que deux issues (visite la grotte ou non) doivent immédiatement vous orienter vers la Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.

Ici, la probabilité de succès $p$ est la valeur $P(G)$ calculée précédemment. La question demande de calculer la probabilité qu'au moins 75 clients visitent la grotte ($P(X \geqslant 75)$). La maîtrise de la calculatrice est nécessaire pour obtenir une valeur approchée précise, car le calcul manuel est fastidieux.