Oui
Géométrie dans l'espace
Coordonnées de vecteurs
Volumes
Équation cartésienne de plan
Représentation paramétrique de droite
Intersection droite-plan
Position relative de droites
Sujet Bac Corrigé - Géométrie dans l'espace - Nouvelle-Calédonie Sujet 2 - 2022 - Ex 3 - Corrigé
30 septembre 2022
Terminale Spécialité
Prêt à prendre de la hauteur ? 🚀 Dans cet exercice captivant de Géométrie dans l'espace, tu vas modéliser une maison complète, du sol jusqu'au sommet du toit ! C'est l'entraînement idéal pour bétonner tes connaissances pour le Bac.
Au programme de ton chantier :
- Manipuler des coordonnées et calculer des volumes de pyramides. 🏠
- Dompter les vecteurs normaux pour déterminer l'équation cartésienne d'un plan. 🧠
- Installer une antenne grâce aux représentations paramétriques de droites. 📡
⚠️ Le défi final : Un oiseau arrive à toute vitesse ! En étudiant la position relative de deux droites, sauras-tu prédire s'il va percuter l'antenne ? Un excellent test pour vérifier si tu maîtrises les intersections et les trajectoires dans l'espace. Allez, enfile ton casque de chantier et prouve que tu es un as du repérage ! 🔥
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
Avez-vous bien cherché l'exercice ?
Exercice de Géométrie dans l'espace : Modélisation et calculs vectoriels
L'exercice 3 du sujet 2 du Baccalauréat 2022 en Nouvelle-Calédonie propose une application concrète de la géométrie dans l'espace. À travers la modélisation d'une maison composée d'un pavé droit et d'une pyramide, les élèves doivent mobiliser l'ensemble de leurs connaissances sur le repérage spatial, les vecteurs et les équations de plans et de droites.
Compétences et clés de réussite
1. Repérage et coordonnées dans l'espace
La première étape consiste à maîtriser la lecture de coordonnées dans un repère orthonormé défini par la géométrie du solide. Ici, le repère est centré en D. Il est crucial de bien identifier les vecteurs unitaires basés sur les arêtes du parallélépipède pour déterminer les coordonnées des sommets (B, E, F, G). Une erreur ici se répercuterait sur tout l'exercice.
2. Calculs de volumes
Le candidat doit être à l'aise avec les formules de volume des solides usuels :
- Le volume d'un parallélépipède (Aire de la base × hauteur).
- Le volume d'une pyramide (1/3 × Aire de la base × hauteur).
La difficulté réside souvent dans l'identification correcte de la hauteur de la pyramide par rapport à la base choisie.
3. Vecteurs normaux et équations de plans
Pour démontrer qu'un vecteur est normal à un plan, la méthode standard consiste à vérifier, via le produit scalaire, que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (par exemple les vecteurs directeurs formés par trois points du plan). Une fois la normalité prouvée, l'équation cartésienne du plan s'écrit sous la forme ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c) sont les coordonnées du vecteur normal.
4. Droites : Représentation paramétrique et intersections
L'exercice demande de travailler avec des antennes et des trajectoires, modélisées par des droites. Les points clés sont :
- Établir une représentation paramétrique connaissant un point et un vecteur directeur.
- Trouver l'intersection entre une droite et un plan en injectant les équations paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan.
- Calculer une distance entre deux points pour déterminer la longueur d'un segment.
5. Position relative de deux droites
La dernière partie aborde la collision potentielle entre un objet (l'oiseau) et l'antenne. Il faut étudier la position relative de deux droites dont on connaît les représentations paramétriques. Il s'agit de résoudre un système pour voir si les droites sont sécantes. Si un point d'intersection existe, il faut vérifier s'il appartient spécifiquement au segment représentant l'antenne (vérification des bornes du paramètre).