Compétences et clés de réussite pour cet exercice

Cet exercice, tiré du sujet 1 du Baccalauréat 2025 des Centres Étrangers, est un classique incontournable mêlant l'analyse de fonctions et les suites numériques. Il permet de tester la maîtrise globale du programme de Spécialité Mathématiques. Voici les points méthodologiques essentiels pour réussir.

1. Étude de fonction avec logarithme (Partie A)

La première partie repose sur l'étude d'une fonction $f$ comportant un terme en $\ln(x+1)$ et un terme polynomial. Les compétences clés sont :

• Calcul de limites : Il faut être vigilant sur la limite en $-1$ (droite), en utilisant la propriété fondamentale $\lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty$.
• Dérivation : La dérivation de $\ln(u)$ en $u'/u$ est centrale. Ici, la mise au même dénominateur est cruciale pour obtenir la forme factorisée $f'(x)$ proposée par l'énoncé.
• Étude de signe : L'analyse du signe de la dérivée repose sur l'étude d'un trinôme du second degré au numérateur, le dénominateur étant strictement positif sur le domaine.

2. Théorème des Valeurs Intermédiaires et Algorithmique

L'exercice introduit une fonction auxiliaire $h(x) = f(x) - x$ pour étudier les points fixes.

• Le TVI : Pour montrer l'unicité de la solution $\alpha$, il faut rédiger rigoureusement les trois conditions : continuité de la fonction, stricte monotonie sur l'intervalle donné, et le fait que 0 appartient à l'image de l'intervalle.
• Interprétation Python : Le script proposé est un algorithme de recherche de racine (type balayage). Il est essentiel de comprendre que la boucle while continue tant que l'on est "au-dessus" de l'axe des abscisses (pour $h(x)$), et s'arrête dès que la courbe traverse l'axe, fournissant ainsi un encadrement de $\alpha$.

3. Suites numériques et Récurrence (Partie B)

La seconde partie connecte l'analyse à une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. C'est une configuration classique du Bac.

• Raisonnement par récurrence : L'hérédité repose ici sur la croissance de la fonction $f$. Il faut savoir rédiger : "Comme $f$ est croissante sur l'intervalle, si $u_n \leqslant u_{n+1}$, alors $f(u_n) \leqslant f(u_{n+1})$, soit $u_{n+1} \leqslant u_{n+2}$".
• Théorème de convergence monotone : Une suite croissante et majorée converge. C'est un automatisme à acquérir.
• Théorème du point fixe : La limite $\ell$ doit vérifier l'équation $f(\ell) = \ell$ (car $f$ est continue). Cela permet de faire le lien direct avec la solution $\alpha$ trouvée dans la partie A via la fonction $h$.

En résumé, cet exercice demande une grande rigueur dans la rédaction des théorèmes d'existence (TVI, convergence monotone) et une bonne aisance dans le calcul algébrique avec les logarithmes.