Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (Métropole, Sujet du 8 juin) est un classique de l'analyse combinant la résolution d'équations différentielles et l'étude de fonctions avec l'exponentielle.

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser les points suivants :

• Vérification d'une solution particulière : La première question demande de prouver qu'une fonction donnée \(u(x)\) vérifie l'équation \((E)\). Il est impératif de savoir dériver correctement un produit de la forme \(x^2e^x\) en utilisant la formule \((uv)' = u'v + uv'\).
• Lien entre solution particulière et équation homogène : Une compétence clé du programme est de savoir démontrer que la recherche de la solution générale passe par la résolution de l'équation homogène associée \(y' = y\). Ici, on utilise une fonction auxiliaire \(g = f - u\).
• Résolution de \(y' = ay\) : Il faut connaître par cœur la forme des solutions des équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre (fonctions de type \(x \mapsto K e^{ax}\)).
• Étude de variations : L'analyse de la fonction \(u\) nécessite l'étude du signe de sa dérivée \(u'\). La factorisation par l'exponentielle (toujours positive) est une étape systématique pour isoler le polynôme dont on étudie le signe.
• Convexité et dérivée seconde : La dernière partie interroge sur la convexité. L'élève doit savoir que cela revient à étudier le signe de la dérivée seconde \(u''(x)\) ou les variations de la dérivée \(u'(x)\). La rigueur dans le calcul de la dérivée seconde est primordiale pour déterminer l'intervalle de concavité.

Cet exercice permet de vérifier la capacité à articuler le calcul algébrique (dérivées, équations) avec le raisonnement analytique (variations, positions relatives de courbes ou concavité).