Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Santé Publique

Cet exercice du Baccalauréat 2023 (Métropole Septembre, Sujet 2) est un classique incontournable pour les élèves de Terminale Spécialité Mathématiques. Il aborde la modélisation probabiliste d'une situation concrète : le dépistage d'une maladie (la paratuberculose) au sein d'un cheptel bovin. L'exercice est structuré en deux parties indépendantes, permettant de tester successivement les compétences sur les probabilités conditionnelles et sur les lois de probabilités discrètes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels du programme :

• Construction et lecture d'un arbre pondéré : La première étape consiste à traduire l'énoncé en langage mathématique. Il faut identifier les événements (I pour l'infection, T pour le test) et placer correctement les probabilités marginales et conditionnelles sur l'arbre. Une lecture attentive est nécessaire pour ne pas confondre $P_I(T)$ et $P(I \cap T)$.
• Utilisation de la formule des probabilités totales : Cette compétence est requise pour calculer la probabilité d'un événement situé au deuxième niveau de l'arbre (ici, la probabilité que le test soit positif). C'est une étape charnière qui permet souvent de vérifier la cohérence des calculs précédents.
• Calcul de la valeur prédictive : L'exercice demande de calculer la probabilité qu'une vache soit malade sachant que le test est positif. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle inverse, souvent source d'erreurs, qui nécessite d'appliquer rigoureusement la définition $P_T(I) = P(I \cap T) / P(T)$.
• Justification de la loi binomiale : Dans la partie B, l'élève doit reconnaître une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise). Il est crucial de préciser les paramètres $n$ (taille de l'échantillon) et $p$ (probabilité du succès) pour obtenir tous les points.
• Calculs sur la loi binomiale : Que ce soit pour une valeur exacte $P(X=k)$ ou une probabilité cumulée, l'usage de la calculatrice est attendu, mais la formulation de la formule théorique reste valorisée.
• Résolution d'inéquation avec puissance : La dernière question demande de trouver la taille d'échantillon nécessaire pour atteindre un certain seuil de probabilité. Cela implique de passer par l'événement contraire et de résoudre une inéquation de type $1 - (1-p)^n \ge 0,99$, nécessitant souvent l'utilisation du logarithme népérien.

En somme, cet exercice est un excellent entraînement car il balaye une large partie du chapitre sur les probabilités. Il demande de la rigueur dans la notation et une bonne capacité à interpréter des résultats numériques dans un contexte réel.