Analyse de l'exercice : Géométrie vectorielle et repérage dans l'espace

Cet exercice du Baccalauréat 2023 (Métropole, Sujet 2) est un problème classique de géométrie dans l'espace rapporté à un repère orthonormé. Il mobilise l'ensemble des connaissances attendues en Terminale sur les vecteurs, les droites et les plans, ainsi que la notion de projection orthogonale. L'objectif est d'étudier la configuration relative de deux plans et d'une droite, pour ensuite analyser une figure géométrique formée par des projetés orthogonaux.

Les candidats sont amenés à manipuler simultanément des équations cartésiennes et des représentations paramétriques, faisant de cet exercice une excellente révision pour structurer le raisonnement spatial et le calcul vectoriel.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il est impératif de maîtriser plusieurs savoir-faire techniques fondamentaux :

• Identification des vecteurs normaux : La première étape consiste souvent à extraire les coordonnées d'un vecteur normal à partir de l'équation cartésienne d'un plan ($ax + by + cz + d = 0$). Ici, la lecture directe des coefficients est essentielle.
• Preuve d'orthogonalité : Savoir démontrer que deux plans sont perpendiculaires revient à prouver que leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux. L'outil clé est le produit scalaire : si le résultat est nul, l'orthogonalité est confirmée.
• Intersection de plans et droites : L'exercice demande de déterminer l'équation d'un plan défini par un point et un vecteur normal, puis de vérifier qu'une droite (donnée par sa représentation paramétrique) est bien l'intersection de deux plans. Il faut être capable de substituer les coordonnées paramétriques de la droite ($x(t), y(t), z(t)$) dans les équations cartésiennes des plans pour vérifier la cohérence.
• Minimisation de distance : Une partie de l'analyse porte sur la distance entre un point fixe et un point mobile sur une droite. Cela implique souvent l'étude d'une fonction du second degré sous une racine carrée. Comprendre que la distance est minimale lorsque le point mobile est le projeté orthogonal du point fixe est une notion théorique qui simplifie la compréhension, bien que le calcul algébrique soit ici guidé.
• Caractérisation de quadrilatères : La dernière partie requiert de démontrer qu'une figure (formée par un point et ses différents projetés) est un rectangle. Les clés de réussite résident dans le calcul de distances (normes de vecteurs) et la vérification de l'orthogonalité des côtés adjacents via le produit scalaire. Une bonne vision spatiale, aidée par le schéma fourni, permet d'anticiper les relations entre les points $A$, $H$, $H_1$ et $H_2$.

En résumé, cet exercice numéro 3 demande de la rigueur dans les calculs de coordonnées et une bonne connaissance des propriétés métriques de l'espace. Il ne présente pas de piège majeur mais exige une application méthodique des formules du cours sur le produit scalaire et les équations de plans.