Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Métropole Septembre, Sujet 1) aborde deux thèmes majeurs des probabilités : la loi binomiale et l'étude de sommes de variables aléatoires indépendantes avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Partie A : Modélisation par une loi binomiale

Dans cette première partie, l'élève doit démontrer sa capacité à modéliser une situation concrète (contrôle de qualité) par une loi de probabilité usuelle.

• Justification de la loi : Il est essentiel de repérer la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise ou assimilé) pour justifier l'usage de la loi binomiale.
• Calculs de probabilités : Les questions demandent de calculer la probabilité d'événements exacts \(P(X=k)\) ou cumulés (au moins \(k\) succès). L'utilisation efficace de la calculatrice est recommandée ici.
• Recherche de seuil : La dernière question nécessite de déterminer une taille d'échantillon \(n\) pour satisfaire une condition de probabilité. Cela implique généralement la résolution d'une inéquation faisant intervenir des puissances, souvent résolue à l'aide du logarithme népérien.

Partie B : Somme de variables et concentration

Cette partie est plus théorique et fait appel aux propriétés algébriques de l'espérance et de la variance, ainsi qu'aux inégalités de concentration.

• Espérance d'une somme : L'élève doit savoir que l'espérance est linéaire. Pour une somme \(S\) de 100 variables identiques, \(E(S) = 100 \times E(M_i)\).
• Écart-type d'une somme : Point crucial : la variance est additive uniquement si les variables sont indépendantes (ce qui est admis ici). On utilise la relation \(V(S) = \sum V(M_i)\) pour démontrer que l'écart-type de la somme est égal à \(\sqrt{n} \times \sigma\). C'est une erreur classique de penser que l'écart-type est simplement additif.
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : L'exercice se conclut par l'application de cette inégalité. Il faut d'abord traduire l'énoncé (probabilité que la masse soit comprise dans un intervalle) sous la forme d'un événement d'écart à la moyenne \(|S - E(S)| \geqslant \delta\), puis appliquer la formule du cours pour majorer cette probabilité et isoler l'inconnue \(\sigma\).

Cet exercice est excellent pour réviser la transition entre les lois discrètes classiques et les théorèmes limites ou de concentration, compétences fondamentales du programme de Terminale.