Analyse de l'Exercice 2 : Centres Étrangers Sujet 2 (2023)

Cet exercice, issu de la session 2023 du Baccalauréat pour les Centres Étrangers (Groupe 1, Sujet 2), est un classique de l'analyse combinant l'étude de fonctions et les suites numériques. Il est pondéré de manière significative et demande une maîtrise solide des propriétés de la fonction logarithme népérien ainsi que des méthodes de démonstration par récurrence.

Compétences et clés de réussite

1. Étude de fonction et point fixe

La première partie de l'exercice introduit une fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$. Cette technique est standard pour étudier les points fixes d'une fonction (c'est-à-dire les solutions de $f(x) = x$). Pour réussir cette partie, le candidat doit :

• Maîtriser le calcul de limites, notamment en utilisant les croissances comparées ou les limites usuelles du logarithme aux bornes du domaine de définition.
• Savoir dériver une fonction composée de la forme $\ln(u)$. L'étude du signe de la dérivée permettra de dresser le tableau de variations de $g$.
• Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), ou son corollaire pour les fonctions strictement monotones, afin de prouver l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $g(x) = 0$. La maîtrise de la calculatrice est nécessaire pour fournir un encadrement précis.

2. Suites définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$

La seconde partie bascule sur l'étude dynamique de la suite. Les clés de la réussite résident dans la compréhension du lien entre la fonction $f$ et la suite $(u_n)$.

• Stabilité de l'intervalle : Il est demandé de montrer que si $x$ appartient à un intervalle donné, son image par $f$ y appartient aussi. C'est une étape préliminaire cruciale pour la récurrence.
• Raisonnement par récurrence : L'exercice exige de démontrer une inégalité triple : $-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$. Cela prouve simultanément que la suite est bornée et croissante. Une rédaction rigoureuse (initialisation, hérédité, conclusion) est indispensable.
• Convergence : Enfin, le candidat doit invoquer le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge) pour conclure l'exercice.

Ce type de sujet permet de vérifier la capacité de l'élève à synthétiser des connaissances d'analyse fonctionnelle pour résoudre des problèmes de suites, une compétence centrale du programme de Terminale.