Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace du Baccalauréat, issu de la session 2023 en Nouvelle-Calédonie (Sujet 2), mobilise l'ensemble des connaissances classiques sur les vecteurs, les droites et les plans dans un repère orthonormé associé à un cube.

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser les points suivants :

• Repérage dans l'espace : Savoir déterminer les coordonnées des sommets d'un cube et de points milieux dans un repère donné est la première étape indispensable.
• Calculs de longueurs et de volumes : Il est nécessaire de connaître la formule de la distance entre deux points et celle du volume d'un tétraèdre ($V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$). Une attention particulière doit être portée au choix de la base pour simplifier les calculs initiaux.
• Vecteur normal et équation de plan : L'élève doit savoir vérifier qu'un vecteur est normal à un plan en testant son orthogonalité avec deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (via le produit scalaire). Ensuite, il faut être capable de déduire l'équation cartésienne du plan de la forme $ax + by + cz + d = 0$.
• Représentation paramétrique : La construction d'une représentation paramétrique d'une droite nécessite un point de passage et un vecteur directeur (ici, le vecteur normal au plan précédemment identifié).
• Intersection et distance : La détermination des coordonnées du point d'intersection entre une droite et un plan se fait par substitution des équations paramétriques dans l'équation cartésienne. Enfin, le calcul final de l'aire d'un triangle quelconque repose souvent sur l'inversion de la formule du volume, en utilisant la distance d'un point au plan comme hauteur.

Cet exercice est un excellent entraînement pour structurer son raisonnement géométrique analytique et manipuler les changements de points de vue (changement de base et de hauteur) pour calculer des aires ou des volumes.