Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet 2 du Baccalauréat 2023 (Amérique du Nord) est un classique de la géométrie dans l'espace. Il permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des objets géométriques dans un repère orthonormé et à faire le lien entre les calculs vectoriels et les propriétés géométriques (alignement, orthogonalité, distances, volumes).

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Spécialité Mathématiques :

• Calcul vectoriel de base : La première étape consiste souvent à calculer des coordonnées de vecteurs pour vérifier l'alignement de points (colinéarité) ou l'orthogonalité (produit scalaire). Ici, il est crucial de savoir déterminer si trois points définissent un plan ou s'ils sont alignés.
• Représentation paramétrique de droite : Une compétence clé est de savoir passer de deux points (ou un point et un vecteur directeur) à un système d'équations paramétriques décrivant une droite. Cela sert ensuite à trouver des points d'intersection ou à vérifier l'appartenance d'un point à une droite.
• Projeté orthogonal et distance : L'exercice demande de vérifier qu'un point est le projeté orthogonal d'un autre sur une droite. Cela requiert de vérifier deux conditions : l'appartenance du point à la droite et l'orthogonalité du vecteur formé avec le vecteur directeur de la droite. Cette notion est ensuite étendue au projeté orthogonal sur un plan.
• Équation cartésienne de plan : Savoir démontrer qu'un vecteur est normal à un plan (en vérifiant l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan) est indispensable pour établir l'équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
• Calculs d'aires et de volumes : Enfin, l'exercice mobilise les formules géométriques usuelles, notamment l'aire d'un triangle (base × hauteur / 2) et le volume d'un tétraèdre (1/3 × Base × Hauteur). Ici, la hauteur correspond précisément à la distance entre un point et le plan de la base, calculée via le projeté orthogonal.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans les calculs de coordonnées et une bonne vision des liens entre les vecteurs normaux, les vecteurs directeurs et les équations (paramétriques ou cartésiennes) qui structurent l'espace.