Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023, session Amérique du Sud (Sujet 1), propose une étude classique mais dense d'analyse fonctionnelle, couplée à une interprétation algorithmique. Il est structuré en deux parties interdépendantes, une configuration fréquente où l'étude d'une fonction auxiliaire prépare l'analyse de la fonction principale.

Partie A : Étude de la fonction auxiliaire et dichotomie

La première partie se concentre sur une fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. Les candidats doivent maîtriser le calcul de limites, notamment en levant une forme indéterminée en $+\infty$ par factorisation, et connaître les croissances comparées usuelles. Le calcul de la dérivée nécessite l'application rigoureuse de la règle du produit $(uv)'$.

L'étude des variations conduit naturellement à l'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $f(x)=0$. Une particularité de cet exercice est l'intégration d'un script Python implémentant un algorithme de dichotomie. L'élève doit être capable de lire le code pour comprendre qu'il cherche à encadrer la solution $\alpha$ avec une précision donnée.

Partie B : Fonction principale et géométrie

La seconde partie introduit une fonction rationnelle faisant intervenir le logarithme népérien. La clé de la réussite réside dans la capacité à relier les deux parties : la dérivée de cette nouvelle fonction s'exprime en fonction de la fonction auxiliaire étudiée précédemment. Cela permet de déduire directement les variations et l'existence d'un maximum sans refaire tous les calculs de signe.

Enfin, l'exercice se clôture par une question de géométrie analytique demandant de déterminer les équations de deux tangentes à la courbe (l'une en un point fixe, l'autre au point d'abscisse $\alpha$) et de trouver leur point d'intersection. Cette dernière question mobilise des compétences de calcul algébrique et de résolution de systèmes linéaires, tout en manipulant des valeurs littérales.