Oui
Géométrie dans l'espace
Représentation paramétrique
Produit scalaire
Positions relatives
Intersection droite-plan
Sujet Bac Corrigé - Géométrie dans l'espace - Polynésie Sujet 1 - 2023 - Ex 2 - Corrigé
28 février 2023
Terminale Spécialité
Prêt à devenir le maître de la Géométrie dans l'espace ? 🚀 Dans cet exercice incontournable, tu vas explorer les mystères des droites en 3D. Ton défi est de taille : déterminer la droite $\Delta$, cette pièce unique qui fait office de perpendiculaire commune à deux droites qui ne se touchent jamais ! 🧠
Voici ton programme d'entraînement :
- Décoder les représentations paramétriques pour extraire des vecteurs directeurs.
- Démontrer la position relative de deux droites (attention au piège des droites non coplanaires ! ⚠️).
- Jongler entre équations cartésiennes de plans et intersections stratégiques.
C'est l'exercice parfait pour valider tes réflexes sur l'orthogonalité et briller le jour de l'examen. ✅ Sauras-tu résoudre ce puzzle géométrique et trouver les coordonnées du point L ? Relève le défi et booste ta confiance ! 🔥
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
Avez-vous bien cherché l'exercice ?
Compétences et clés de réussite
Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré du sujet 1 du Baccalauréat 2023 en Polynésie, est un classique pour évaluer la maîtrise des coordonnées, des vecteurs et des représentations paramétriques. L'objectif principal est de construire la perpendiculaire commune à deux droites de l'espace, une notion qui synthétise plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Spécialité Mathématiques.
Analyse des droites de l'espace
La première étape consiste toujours à extraire les informations géométriques des données : identifier un point de passage et un vecteur directeur. Pour une droite donnée par une représentation paramétrique, les coefficients du paramètre (souvent noté $k$ ou $t$) fournissent directement les coordonnées du vecteur directeur. Une compétence clé est de savoir déterminer la position relative de deux droites :
- Sont-elles parallèles ? (colinéarité des vecteurs directeurs).
- Sont-elles sécantes ? (résolution d'un système pour trouver un point d'intersection).
- Si elles ne sont ni parallèles ni sécantes, elles sont non coplanaires.
Orthogonalité et Produit Scalaire
Le cœur de l'exercice repose sur l'utilisation du produit scalaire. Pour démontrer qu'un vecteur est normal à un plan ou orthogonal à une droite, l'élève doit vérifier que le produit scalaire avec les vecteurs directeurs concernés est nul ($xx' + yy' + zz' = 0$). Cette étape est cruciale pour valider la direction de la perpendiculaire commune.
Intersection Droite-Plan et Paramétrage
La résolution culmine avec la détermination d'une intersection entre une droite et un plan. Cela nécessite de :
- Disposer de l'équation cartésienne du plan (souvent déduite d'un point et de vecteurs directeurs ou d'un vecteur normal).
- Injecter les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan.
- Résoudre l'équation linéaire résultante pour trouver la valeur du paramètre.
Enfin, justifier qu'une droite est la solution du problème demande de synthétiser les résultats précédents : vérifier l'orthogonalité avec les deux droites initiales et l'existence de points d'intersection (ou la perpendicularité en un point précis). C'est un exercice complet qui demande rigueur dans les calculs et clarté dans le raisonnement géométrique.