Analyse de l'Exercice 3 : Suites et Fonctions - Bac Spécialité Maths 2023 (Polynésie Sujet 1)

Cet exercice, issu de l'épreuve de spécialité mathématiques du Baccalauréat 2023 pour la zone Polynésie (Sujet 1), est un classique de l'analyse. Il propose une étude couplée mettant en jeu une fonction polynôme du second degré et une suite définie par récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$. Ce type de problème permet d'évaluer la capacité des élèves à transférer les propriétés d'une fonction continue aux termes discrets d'une suite.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale :

• Étude de variations d'une fonction : La première partie exige une maîtrise de la dérivation. Ici, il s'agit d'une fonction polynôme simple ($f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 2x + 3$). Savoir dresser un tableau de variations correct est indispensable, car il servira de base pour établir la stabilité d'un intervalle (l'intervalle image).
• Manipulation d'inégalités : L'exercice demande de démontrer que $x \leqslant f(x)$ sur $\mathbb{R}$. La clé réside souvent dans l'étude du signe de la différence $f(x) - x$. Ici, l'élève est guidé vers une factorisation remarquable qui simplifie grandement l'étude de signe.
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'étude de la suite. Il faut savoir rédiger rigoureusement les trois étapes (initialisation, hérédité, conclusion) pour prouver l'encadrement et la monotonie de la suite $(u_n)$. L'hérédité s'appuie directement sur la croissance de la fonction $f$ démontrée en première partie.
• Théorème de convergence monotone : Une fois la croissance et la majoration établies, il faut invoquer ce théorème pour justifier l'existence d'une limite finie, puis résoudre l'équation $f(\ell) = \ell$ (théorème du point fixe) pour trouver sa valeur.
• Algorithmique (Python) : La question demande de compléter une fonction de seuil. Il faut comprendre la structure d'une boucle while pour déterminer le premier rang $n$ dépassant une certaine valeur.
• Logique et raisonnement par l'absurde : La dernière question teste la logique mathématique. Il s'agit de supposer que la suite converge pour aboutir à une contradiction, prouvant ainsi la divergence.

En résumé, cet exercice de Polynésie 2023 est un excellent entraînement pour réviser l'interaction entre fonctions et suites, ainsi que la rigueur de rédaction nécessaire pour les démonstrations par récurrence et par l'absurde.