Analyse de l'exercice de Géométrie dans l'espace - Bac La Réunion 2023 (Sujet 1)

Cet exercice est un classique des épreuves du Baccalauréat scientifique, portant sur la géométrie analytique dans l'espace au sein d'un cube. Il mobilise l'ensemble des notions vectorielles et métriques enseignées en spécialité mathématiques.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences techniques fondamentales :

• Maîtrise du repérage dans l'espace : La première étape consiste à déterminer les coordonnées de sommets et de centres de faces dans un repère orthonormé imposé. Une lecture rigoureuse de la figure et une bonne compréhension de la base vectorielle sont indispensables pour éviter les erreurs de calcul dès le début.
• Vecteurs normaux et plans : L'élève doit savoir démontrer qu'un vecteur est normal à un plan (en prouvant l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan) et utiliser cette propriété pour établir l'équation cartésienne du plan (de type ax + by + cz + d = 0).
• Représentation paramétrique : Il est demandé de passer aisément d'une description géométrique d'une droite à son système d'équations paramétriques, en utilisant un point de passage et un vecteur directeur.
• Projeté orthogonal : La vérification des coordonnées d'un projeté orthogonal nécessite de confirmer deux conditions : l'appartenance du point au plan et l'orthogonalité du vecteur formé avec le point projeté au plan.
• Produit scalaire et optimisation : L'exercice propose un problème d'existence d'un point pour former un triangle rectangle. Cela se résout généralement par l'annulation d'un produit scalaire, menant à une équation à une inconnue (le paramètre t).
• Calcul de volumes : Enfin, la dernière question demande de calculer le volume d'un tétraèdre. Il faut connaître la formule (Base × Hauteur / 3) et savoir identifier la bonne base et la hauteur correspondante (souvent déduite des questions précédentes sur l'orthogonalité) pour exprimer ce volume en fraction du volume total du cube.

Cet exercice constitue un excellent entraînement pour réviser la totalité du chapitre de géométrie dans l'espace, mêlant vision spatiale et rigueur algébrique.