Compétences et clés de réussite

Cet exercice de probabilités, issu du sujet 1 du Baccalauréat Asie 2025, mobilise des connaissances fondamentales sur le conditionnement ainsi que des notions plus avancées de statistique et d'estimation liées à la loi binomiale et à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

1. Modélisation par les probabilités conditionnelles

La première partie de l'exercice est un classique de l'analyse probabiliste. Pour réussir, le candidat doit être capable de :

• Traduire l'énoncé en langage mathématique : Identifier clairement les événements (F pour Fabrication, S pour Sécurité) et distinguer une probabilité simple (\(P(F)\)) d'une probabilité conditionnelle (\(P_F(S)\)). L'erreur fréquente est de confondre \(P_F(S)\) et \(P(F \cap S)\).
• Construire un arbre pondéré : L'arbre est l'outil visuel indispensable pour structurer les hypothèses (notamment le cas des jouets ne réussissant aucun test) et calculer les probabilités d'intersection.
• Appliquer la formule des probabilités totales : Cette étape est nécessaire pour déterminer la probabilité globale de réussite au test de sécurité, en sommant les chemins de l'arbre.
• Inverser le conditionnement : La dernière question de la partie A demande de calculer \(P_S(F)\), ce qui nécessite d'utiliser la définition \(P_S(F) = \frac{P(F \cap S)}{P(S)}\).

2. Loi Binomiale et échantillonnage

La seconde partie bascule vers l'étude de variables aléatoires sur un lot de \(n\) jouets.

• Identifier la loi binomiale : Il faut justifier l'usage de cette loi en mentionnant la répétition d'épreuves identiques et indépendantes (tirage avec remise). Les paramètres \(n\) et \(p\) doivent être clairement identifiés.
• Calculs sur la loi binomiale : Le candidat doit savoir calculer l'espérance et la variance d'une somme \(S_n\). Pour les calculs de probabilités (\(P(S_{150} = 145)\) ou probabilités cumulées), l'usage efficace de la calculatrice est recommandé.

3. Estimation et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

La fin de l'exercice traite de la fluctuation d'échantillonnage via la variable fréquence \(F_n = \frac{S_n}{n}\).

• Propriétés de la fréquence : Il est demandé de retrouver l'espérance et la variance de \(F_n\) à partir de celles de \(S_n\). C'est une démonstration algébrique simple mais rigoureuse.
• Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : C'est le point technique majeur de l'exercice. L'objectif est de déterminer une taille d'échantillon \(n\) suffisante pour garantir une certaine précision. Il faut savoir poser l'inégalité sous la forme \(P(|F_n - p| \leq \delta) \geq 1 - \frac{V(F_n)}{\delta^2}\) (ou sa forme complémentaire) pour isoler et calculer \(n\).