Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023 pour l'Amérique du Nord (Sujet 1) est un standard de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il structure l'analyse en deux temps : l'étude d'une fonction auxiliaire $g$ servant de levier pour déterminer les propriétés de la fonction principale $f$. Voici les points techniques essentiels pour réussir ce sujet.

1. Gestion des limites et de l'exponentielle

La manipulation de l'expression $e^{kx}$ est centrale. Pour les limites en l'infini, l'élève doit être à l'aise avec les factorisations forcées ou les règles de croissances comparées pour lever les indéterminations. La dérivation de fonctions composées du type $e^{u(x)}$ est également requise dès le début de l'exercice.

2. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

L'exercice exige de prouver l'existence de solutions à l'équation $g(x)=0$. Il est impératif de rédiger soigneusement les conditions d'application du théorème des valeurs intermédiaires (continuité, stricte monotonie) et de savoir utiliser la calculatrice pour fournir un encadrement précis de la solution $\alpha$. C'est une compétence récurrente qui rapporte des points de méthode.

3. Exploitation de la fonction auxiliaire

La clé de voûte de l'exercice se situe dans la transition entre la partie A et la partie B. L'élève doit reconnaître que la dérivée $f'(x)$ s'exprime en fonction de $g(x)$. Il ne faut pas redériver $g$, mais utiliser directement son signe (déduit précédemment) pour obtenir les variations de $f$. Cette logique déductive est le cœur du raisonnement attendu.

4. Analyse de la convexité

La dernière question teste la compréhension de la convexité. Pour montrer qu'une fonction n'est pas convexe sur l'ensemble des réels, l'élève doit être capable d'analyser le sens de variation de la dérivée première $f'$ ou d'étudier le signe de la dérivée seconde $f''$. Une argumentation précise justifiant le changement de concavité (point d'inflexion éventuel) est nécessaire.