Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet de Baccalauréat 2023 (Centres Étrangers Groupe 1, Sujet 1) est un classique de la géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des connaissances attendues en Terminale Spécialité Mathématiques sur les vecteurs, les droites et les plans.

1. Repérage et calcul vectoriel

La première difficulté réside souvent dans la lecture des coordonnées. Ici, le repère est défini par des vecteurs liés aux arêtes du prisme. Il est crucial de savoir exprimer les vecteurs positions des points $I$ et $J$ en fonction de la base $\left(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\right)$ pour en déduire leurs coordonnées. Une erreur de calcul ici se répercuterait sur tout l'exercice.

2. Plans et vecteurs normaux

Une compétence centrale est de démontrer qu'un vecteur est normal à un plan. La méthode consiste à vérifier, via le produit scalaire, que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ici $\vec{IG}$ et $\vec{IJ}$ par exemple). Une fois le vecteur normal validé, l'établissement de l'équation cartésienne du plan de la forme $ax + by + cz + d = 0$ est une application directe du cours.

3. Droites et projeté orthogonal

L'exercice demande ensuite de déterminer une représentation paramétrique d'une droite perpendiculaire au plan. Il faut savoir utiliser le vecteur normal du plan comme vecteur directeur de la droite. Le point d'intersection entre cette droite et le plan correspond au projeté orthogonal. Pour trouver ses coordonnées, on injecte les équations paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan (résolution d'un système à une inconnue $t$).

4. Distances et Volumes

La fin de l'exercice combine plusieurs notions géométriques :

• Calculer la distance d'un point à un plan (longueur du segment reliant le point à son projeté).
• Démontrer qu'un triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore ou produit scalaire nul).
• Calculer le volume d'un tétraèdre en utilisant la formule $\frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$.

La réussite de cet exercice repose sur la rigueur dans les calculs algébriques et une bonne vision des configurations spatiales.