Analyse de l'exercice : Étude d'une fonction logarithme

L'exercice 2 du sujet 1 du Baccalauréat Métropole 2023 propose une étude classique mais complète d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. Il s'adresse aux élèves maîtrisant l'analyse fonctionnelle sur l'intervalle des réels strictement positifs.

Le problème débute par des calculs de limites, notamment aux bornes de l'ensemble de définition. Il se poursuit par le calcul de la dérivée, l'établissement du tableau de variations, l'application du théorème des valeurs intermédiaires (TVI), pour finir sur une ouverture paramétrique nécessitant de comprendre le lien entre le minimum de la fonction et une translation verticale.

Compétences et clés de réussite

• Levée d'indéterminations sur les limites : La première question demande la limite en 0 (limite usuelle du ln). Pour la limite en l'infini, l'énoncé guide le candidat vers une factorisation par $x^2$. C'est une technique classique pour lever une forme indéterminée du type $\infty - \infty$ en utilisant les croissances comparées (ici, la limite de $\frac{\ln(x)}{x^2}$).
• Calcul de dérivée et factorisation : La dérivation de $x^2 - 8\ln(x)$ requiert une connaissance parfaite des formules élémentaires. Une clé de réussite est la mise au même dénominateur pour retrouver la forme proposée par l'énoncé : $\frac{2(x^2 - 4)}{x}$. Savoir que $x^2 - 4$ est une identité remarquable $(x-2)(x+2)$ facilite grandement l'étude du signe.
• Tableau de variations et extremum : L'étude du signe de la dérivée sur $]0; +\infty[$ permet de justifier les variations de $f$. Il est crucial de calculer la valeur exacte du minimum local (en $x=2$) pour la suite de l'exercice.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : L'exercice demande de prouver l'existence d'une solution unique $\alpha$. Les clés de réussite sont la vérification des trois hypothèses : continuité, stricte monotonie sur l'intervalle donné, et l'appartenance de la valeur cible (ici 0) à l'image de l'intervalle.
• Interprétation graphique et paramètres : La dernière question introduit une fonction auxiliaire $g_k(x) = f(x) + k$. Il ne s'agit plus de refaire une étude complète, mais de comprendre que la courbe de $g_k$ est une translation verticale de celle de $f$. La réussite dépend de la capacité à lier la positivité de la fonction à la position de son minimum par rapport à l'axe des abscisses.

Cet exercice constitue un excellent entraînement pour réviser l'ensemble du chapitre sur les fonctions logarithmes et la logique de démonstration liée au TVI.