Compétences et clés de réussite

Cet exercice est extrait du Sujet 0 du Baccalauréat 2021, un sujet spécimen conçu pour illustrer les attentes de la réforme du lycée en spécialité mathématiques. Il s'agit d'un problème d'analyse classique mais complet, qui nécessite de maîtriser à la fois l'interprétation graphique et le calcul algébrique sur la fonction logarithme népérien.

Analyse graphique et nombres dérivés

La première partie de l'exercice met l'accent sur la lecture graphique. La compétence clé ici est de comprendre le lien géométrique entre le nombre dérivé $f'(a)$ et le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$. Les candidats doivent être capables d'identifier instantanément qu'une tangente horizontale implique une dérivée nulle. De plus, savoir déterminer l'équation réduite d'une droite ($y=ax+b$) à partir de deux points ou d'un point et de son coefficient directeur est un prérequis indispensable pour réussir l'entame du sujet.

Étude de fonction et limites

La seconde partie demande une étude rigoureuse de la fonction $f(x) = \frac{2+\ln(x)}{x}$. Les élèves doivent maîtriser les limites usuelles et les croissances comparées, notamment $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$, pour lever les indéterminations. Concernant la dérivation, l'utilisation correcte de la formule du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ est cruciale. Une erreur de signe à cette étape fausserait toute l'étude des variations. Il est également important de justifier proprement le signe de la dérivée sur l'intervalle d'étude $]0; +\infty[$.

Convexité et point d'inflexion

La dernière question aborde la convexité, une notion centrale du nouveau programme. L'exercice fournit l'expression de la dérivée seconde $f''(x)$, ce qui simplifie la tâche technique mais exige une interprétation théorique solide. Pour déterminer le plus grand intervalle de convexité, il faut étudier le signe de $f''(x)$. Cela revient à résoudre une inéquation faisant intervenir le logarithme (du type $1+2\ln(x) > 0$). La réussite de cette question dépend de la capacité à manipuler les propriétés algébriques de la fonction $\ln$ et à conclure précisément sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes ou sur ses changements de concavité.