Compétences et clés de réussite

Cet exercice de spécialité mathématiques du Bac 2021 (Métropole, exercice 8) traite de l'étude classique d'une suite définie par récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$. Il permet de valider plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale sur les suites numériques.

Analyse et Conjecture

L'exercice débute par une lecture de tableur. L'élève doit être capable d'analyser une série de valeurs pour formuler une conjecture sur la nature d'une suite liée ($rac{4}{u_n}$). Cette étape demande de reconnaître une progression arithmétique simple à partir de données numériques.

Démonstration par Récurrence et Convergence

Le cœur de l'exercice repose sur la rigueur du raisonnement. Les points techniques incluent :

• La démonstration par récurrence : Indispensable pour prouver que la suite est minorée par 0. Il faut soigner les étapes d'initialisation et d'hérédité.
• L'étude des variations : Démontrer que la suite est décroissante par le calcul de $u_{n+1} - u_n$ ou par comparaison.
• Le théorème de convergence monotone : Savoir justifier que toute suite décroissante et minorée converge.

Passage à la forme explicite

La dernière partie utilise une suite auxiliaire $(v_n)$ pour déterminer l'expression de $(u_n)$ en fonction de $n$. La clé de la réussite réside dans la capacité à prouver que $(v_n)$ est une suite arithmétique en calculant la différence constante $v_{n+1} - v_n$. Enfin, la maîtrise des opérations sur les limites permet de conclure sur le comportement asymptotique de la suite initiale.