Analyse globale de l'exercice A - Asie 2021

Cet exercice de la session Asie 2021 est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il se concentre sur l'analyse, en mêlant une première partie basée sur l'observation graphique et une seconde partie purement analytique. Le sujet aborde deux thèmes majeurs du programme de Terminale : la fonction logarithme népérien et l'étude de la convexité.

Le candidat doit ici démontrer sa capacité à passer du registre graphique (interprétation de la courbe de la dérivée) au registre algébrique (calculs de limites et dérivées). C'est un exercice type pour vérifier la compréhension profonde des liens entre une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$.

Compétences et clés de réussite

1. Lecture graphique et lien Dérivée/Convexité

La première difficulté réside dans la nature de la courbe fournie : il s'agit de la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$, et non de la fonction $f$. C'est un piège fréquent. Pour réussir cette partie, il faut maîtriser les équivalences suivantes :

• Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ en un point d'abscisse $a$ correspond à la valeur $f'(a)$ (l'image de $a$ sur le graphique donné).
• La convexité de $f$ se lit à travers les variations de $f'$. Si la courbe de $f'$ monte (fonction croissante), alors $f$ est convexe. Si elle descend, $f$ est concave. Ne confondez pas avec le signe de $f'$ qui donnerait les variations de $f$.

2. Étude de la fonction logarithme composée

La seconde partie propose l'étude de la fonction $f(x) = \ln(u(x))$. Les compétences clés incluent :

• Calcul de limites : Il faut gérer la limite d'une fonction composée. Ici, le polynôme à l'intérieur du logarithme tend vers $+\infty$ en $\pm\infty$. Il faut savoir rédiger rigoureusement cette composition.
• Dérivation : La formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ est indispensable. Assurez-vous de bien dériver le polynôme $x^2+x+\frac{5}{2}$ au numérateur.

3. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

L'exercice demande de justifier l'unicité d'une solution à l'équation $f(x)=2$. C'est une application directe du corollaire du TVI (ou théorème de la bijection). Les points cruciaux pour obtenir tous les points sont :

• Mentionner la continuité de la fonction sur l'intervalle.
• Justifier la stricte monotonie.
• Vérifier que la valeur cible (ici 2) est bien comprise entre les limites ou les bornes de l'intervalle image.
• Utiliser la calculatrice pour donner l'encadrement ou la valeur approchée demandée.

4. Points d'inflexion

La dernière question fait appel à la dérivée seconde $f''$. Un point d'inflexion existe là où la courbe traverse sa tangente, ce qui se traduit analytiquement par le fait que la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. L'étude du signe de $f''(x)$ revient ici à étudier le signe d'un polynôme du second degré, une compétence acquise dès la classe de Première.