Géométrie dans l'espace : Méthodologie et calculs de volume

L'exercice 3 du sujet 2 du Baccalauréat 2021 (session de mars, Métropole) est un cas d'école pour la spécialité mathématiques. Il aborde les concepts fondamentaux de la géométrie dans l'espace en utilisant un repère orthonormé. L'objectif final, bien que géométrique (calculer l'aire d'un triangle quelconque), repose sur une double évaluation du volume d'une pyramide, une technique classique qui permet de déduire des grandeurs difficiles à obtenir directement.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale :

• Manipuler les vecteurs dans l'espace : Savoir calculer les coordonnées de vecteurs et vérifier l'orthogonalité via le produit scalaire est la première étape indispensable.
• Établir des équations : Le passage d'un vecteur normal à l'équation cartésienne d'un plan ($ax + by + cz + d = 0$) et la détermination de la représentation paramétrique d'une droite sont des automatismes à posséder.
• Gérer les intersections : Savoir trouver le point d'intersection entre une droite et un plan en injectant les équations paramétriques dans l'équation cartésienne.
• Calculer des distances et des volumes : Utiliser la formule de la distance entre deux points et celle du volume d'une pyramide ($V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$).

Analyse détaillée des questions

La première partie de l'exercice se concentre sur la caractérisation du plan (ABC). Il ne s'agit pas de deviner l'équation, mais de démontrer qu'un vecteur donné est normal au plan. Pour cela, la méthode rigoureuse consiste à vérifier que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (par exemple les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$). Une fois la normalité prouvée, l'équation cartésienne s'en déduit immédiatement en déterminant la constante $d$ grâce aux coordonnées d'un des points (A, B ou C).

Dans un second temps, l'exercice introduit la hauteur de la pyramide issue de l'origine O. La définition de la droite orthogonale au plan passant par l'origine permet d'établir sa représentation paramétrique. Le vecteur directeur de cette droite est, par définition, le vecteur normal au plan trouvé précédemment. Le point H, projeté orthogonal de O sur le plan (ABC), est alors identifié comme l'intersection de cette droite et du plan. Le calcul de la distance OH représente la hauteur de la pyramide OABC par rapport à la base ABC.

Stratégie de résolution pour le volume

La dernière question est la plus subtile et requiert une prise de recul. On demande de calculer l'aire du triangle ABC. Calculer cette aire directement (avec la formule de Héron ou via le produit vectoriel, souvent hors programme strict selon les années) serait fastidieux. L'énoncé guide vers une méthode élégante : le calcul de volume par deux méthodes.

La pyramide OABC a une particularité : ses arêtes issues de O suivent les axes du repère. Cela signifie que le triangle OAB (dans le plan $z=0$) est rectangle en O, ce qui rend le calcul de son aire et du volume de la pyramide (avec OAB comme base et OC comme hauteur) trivial. En égalant ce volume simple à calculer avec la formule générale utilisant la base ABC et la hauteur OH (calculée précédemment), on isole l'inconnue cherchée : l'aire du triangle ABC.