Cet exercice, issu du sujet 1 du Baccalauréat de mathématiques 2025 de la zone Métropole, est un incontournable de l'analyse en classe de Terminale. Il permet d'étudier en profondeur les convergences de deux suites numériques vers une même limite, en mobilisant un panel très large et représentatif des attendus de l'examen. Divisé en trois parties progressives, ce problème tisse des liens solides entre l'étude de fonctions, le raisonnement par récurrence, les suites géométriques et la programmation en Python.

Compétences et clés de réussite

Pour aborder ce sujet dans des conditions optimales et maximiser vos points le jour de l'épreuve, plusieurs compétences mathématiques fondamentales sont requises :

• Maîtrise des variations de fonctions : La Partie A débute par l'étude des variations d'une fonction irrationnelle faisant intervenir la racine carrée. Il est essentiel de savoir justifier rigoureusement la croissance de la fonction, en utilisant soit la dérivée, soit les théorèmes de composition des fonctions de référence, afin de valider le tableau de variations fourni.
• Le raisonnement par récurrence : Vous serez amené à démontrer un encadrement des termes de la suite. L'astuce classique consiste à utiliser la stricte croissance de la fonction associée sur un intervalle bien choisi. Une rédaction soignée de l'initialisation et de la phase d'hérédité est ici primordiale pour obtenir la totalité des points.
• Théorèmes de convergence et point fixe : Après avoir établi la monotonie et l'encadrement, le théorème de convergence monotone intervient pour justifier l'existence d'une limite finie. La résolution de l'équation f(x) = x permet ensuite de déterminer précisément la valeur exacte de cette limite.
• Analyse d'un algorithme Python : Une lecture attentive de la fonction rang(a) est indispensable. Il faut identifier la boucle while (tant que) qui sert à déterminer un rang de franchissement de seuil. Comprendre la condition d'arrêt de cette boucle est la clé pour expliquer pourquoi le programme finit par s'arrêter pour certaines valeurs du paramètre.
• Suites auxiliaires et suites géométriques : Dans la Partie B, une seconde suite est introduite. La méthode typique consiste à utiliser une suite auxiliaire dont on démontre la nature géométrique en prouvant que w(n+1) = q × w(n). Ce procédé demande une bonne aisance calculatoire, notamment avec les manipulations algébriques de quotients. Une fois la forme explicite obtenue, le calcul de la limite devient direct.
• Résolution d'inéquations et recherche de seuil : La dernière partie exige de résoudre analytiquement une inéquation impliquant une puissance de 2. La maîtrise du logarithme népérien (ou l'utilisation de la stricte monotonie) permet d'isoler l'inconnue et de trouver le plus petit entier naturel vérifiant la condition imposée.

Dans la Partie C, l'exercice prend tout son sens en demandant de croiser les résultats obtenus pour chacune des suites. L'objectif final est de trouver un seuil commun à partir duquel les deux suites entrent simultanément dans un intervalle cible donné. Cette démarche de synthèse valide la capacité de l'élève à garder une vision globale du problème. En résumé, cet exercice complet teste la capacité de l'élève à mener des démonstrations rigoureuses, à manier le formalisme des suites récurrentes et géométriques, tout en validant les compétences en algorithmique. S'entraîner sur ce type de problème est fortement recommandé pour consolider ses acquis et gagner en confiance avant le Baccalauréat.