Compétences et clés de réussite
L'exercice 3 du sujet de mathématiques du Baccalauréat 2025 (Sujet 1) de la zone Polynésie constitue une évaluation globale et particulièrement riche des compétences analytiques et algorithmiques des candidats. En combinant l'étude théorique des suites récurrentes, l'utilisation pragmatique du langage Python et l'analyse approfondie de fonctions impliquant la fonction logarithme népérien, ce problème exige une excellente maîtrise des concepts fondamentaux du programme de Terminale spécialité mathématiques. La structure de l'exercice est classique mais redoutablement efficace pour tester la logique transversale.
1. Maîtrise de la programmation Python et élaboration de conjectures
La première partie (Partie A) de l'exercice plonge directement le candidat dans le domaine de l'algorithmique et de la programmation. La complétion d'un script Python nécessite de bien comprendre la structure itérative, notamment le fonctionnement de la boucle for, ainsi que la gestion des éléments dans des listes via la méthode append(). Le but premier est de savoir traduire de manière fonctionnelle la relation de récurrence mathématique d'une suite en une syntaxe informatique correcte. Par la suite, l'analyse des résultats numériques affichés par l'interpréteur (les valeurs successives de la suite et le test logique de monotonie avec la fonction mystère) permet de formuler des conjectures visuelles et pertinentes concernant le sens de variation et l'éventuelle convergence de la suite vers une valeur limite. Comprendre pourquoi un programme renvoie une valeur booléenne est ici essentiel pour relier le code à la théorie.
2. Calcul différentiel et rigueur de la démonstration par récurrence
La Partie B requiert une véritable aisance en calcul analytique. L'étude du sens de variation d'une fonction composée faisant intervenir un logarithme népérien nécessite le calcul exact de sa fonction dérivée et l'étude stricte du signe de celle-ci sur son ensemble de définition. Une fois la monotonie de cette fonction de référence parfaitement établie, le candidat doit s'attaquer à l'une des compétences méthodologiques incontournables de l'année : la démonstration par récurrence. L'objectif est d'encadrer les termes de la suite pour prouver qu'elle est minorée, majorée et monotone. Une rédaction soignée et rigoureuse, en distinguant clairement l'initialisation, l'hypothèse de récurrence et l'hérédité, est indispensable pour valider pleinement cette étape et appliquer avec succès le fameux théorème de la convergence monotone, garantissant ainsi l'existence d'une limite finie.
3. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et identification de la limite
Enfin, la troisième et dernière partie s'articule autour de l'utilisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et de son corollaire. À travers l'étude d'une nouvelle fonction auxiliaire et l'observation de son tableau de variations, l'élève doit prouver l'existence de racines et l'unicité des solutions à une équation ciblée sur des intervalles donnés. Cette étape exige la capacité d'extraire les informations pertinentes du tableau sans se perdre dans des calculs superflus. Pour clore de façon magistrale ce problème, la détermination de la limite exacte de la suite s'appuie sur le principe du point fixe, démontrant formellement la véracité de la conjecture initiale. Ce parcours intellectuel illustre parfaitement les attentes du baccalauréat de mathématiques : rigueur, cohérence et esprit de synthèse.