Compétences et clés de réussite

Cet exercice 2 du sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Métropole, Sujet 2, 2022) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format exige une gestion du temps rigoureuse et une maîtrise précise des concepts fondamentaux. Bien qu'aucune justification ne soit demandée sur la copie, il est indispensable de mener les calculs ou raisonnements au brouillon pour identifier l'unique bonne réponse parmi les quatre proposées.

Analyse de suites numériques

La première partie de l'exercice se concentre sur l'étude de suites. L'élève doit être capable de déterminer la nature d'une suite (arithmétique ou géométrique) définie par une relation de récurrence. Pour la suite auxiliaire $(b_n)$, la méthode classique consiste à exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n+1}$, puis de réinjecter la définition de $a_n$ pour obtenir une relation de la forme $b_{n+1} = q \times b_n$.

Dans un second temps, l'exercice propose un système de deux suites couplées $(u_n)$ et $(v_n)$. Ici, la compétence clé est le calcul rigoureux des premiers termes ($u_1, v_1, u_2, v_2$) en respectant l'ordre des opérations. Il faut également savoir tester des égalités algébriques ou des rapports pour valider ou invalider les propositions.

Algorithmique et langage Python

La question portant sur le script Python nécessite de comprendre la structure d'une boucle for et la notion d'affectation de variables. Le piège classique réside dans l'interprétation de la fonction range(1, 11) : il est crucial de savoir que la boucle s'arrêtera lorsque l'indice k vaudra 10, et non 11. De plus, l'utilisation d'une variable temporaire (ici c = u) indique un échange ou une mise à jour simultanée des valeurs, concept fondamental pour calculer correctement les termes successifs des suites programmées.

Analyse fonctionnelle et convexité

La partie analyse repose sur la lecture graphique de la courbe de la dérivée $f'$, et non de la fonction $f$ elle-même. C'est une source fréquente d'erreurs. Pour réussir, il faut maîtriser les liens suivants :

• La convexité de $f$ est liée aux variations de $f'$ : si $f'$ est croissante sur un intervalle, alors $f$ est convexe sur cet intervalle.
• Le signe de la dérivée seconde $f''$ correspond au signe du coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f'$. Il faut donc savoir lire graphiquement la pente d'une tangente (ici la droite (BC)).

Calcul de primitives

Enfin, la dernière question aborde le calcul intégral via la recherche d'une primitive. La fonction proposée est de la forme $P(x)e^x$. Plutôt que de tenter une intégration par parties complexe, la méthode la plus efficace en QCM est souvent de dériver les propositions de fonctions $F(x)$ pour vérifier laquelle redonne $f(x)$, tout en s'assurant que la condition initiale $F(0) = 1$ est bien respectée. La maîtrise de la dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ est ici indispensable.