Analyse du sujet : Probabilités et modélisation de parc

Cet exercice du Baccalauréat 2023, donné aux Centres Étrangers (Groupe 1), propose une application classique des mathématiques à la gestion d'un parc de trottinettes électriques. Il est structuré en deux parties indépendantes qui mobilisent des compétences distinctes : l'étude de l'évolution d'un état probabiliste au cours du temps (mêlant probabilités et suites) et l'analyse d'un échantillon aléatoire via une loi discrète.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de spécialité mathématiques :

• Arbres pondérés et probabilités totales : La première étape consiste à modéliser la situation par un arbre. Il faut savoir traduire les données de l'énoncé (probabilités de rester en bon état ou de le redevenir) en branches pondérées, puis utiliser la formule des probabilités totales pour établir la relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$.
• Suites arithmético-géométriques : L'exercice guide l'élève vers l'étude d'une suite auxiliaire $(u_n)$. Il est impératif de savoir démontrer qu'une suite est géométrique en calculant le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$, puis d'utiliser cette propriété pour exprimer le terme général en fonction de $n$.
• Raisonnement par récurrence : Une démonstration rigoureuse est demandée pour prouver une inégalité ($p_n \geqslant 0,8$). La structure Initialisation - Hérédité - Conclusion doit être parfaitement respectée.
• Calcul de limites : L'interprétation concrète du résultat (la fiabilité à long terme du parc) repose sur le calcul de la limite de la suite $(p_n)$. Savoir que $\lim q^n = 0$ pour $-1 < q < 1$ est essentiel ici.
• Loi Binomiale : La seconde partie exige de reconnaître une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise). Il faut savoir justifier le choix de la loi binomiale, préciser ses paramètres $n$ et $p$, et utiliser la calculatrice pour déterminer des probabilités cumulées ($P(X \geqslant k)$).

Conseils méthodologiques

Dans la Partie A, la difficulté principale réside souvent dans la transition entre l'arbre de probabilité et l'expression de la suite. Prenez le temps de bien définir les événements $B_n$ et $\overline{B_n}$. Lors de l'utilisation de la suite auxiliaire, faites attention aux signes lors des manipulations algébriques pour isoler $u_{n+1}$.

Pour la Partie B, la justification du modèle est aussi importante que le calcul. Mots-clés attendus : "épreuves indépendantes", "succès/échec", "tirage assimilé à une remise". Pour le calcul de l'espérance $E(X)$, rappelez-vous de la formule simple $n \times p$ propre à la loi binomiale et interprétez-la comme une moyenne sur un grand nombre de lots.