Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet 2 de Polynésie 2022 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format, classique au baccalauréat, permet de balayer un large spectre du programme d'analyse sur les fonctions. Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas de deviner ; il est essentiel de maîtriser les mécanismes de calcul algébrique et les propriétés fondamentales des fonctions usuelles.

1. Calcul de dérivée avec le logarithme népérien

La première question teste votre capacité à dériver une fonction composée d'un produit. La fonction $f(x)$ contient un terme de la forme $u(x) \times v(x)$ avec le logarithme népérien. La clé est d'appliquer rigoureusement la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Une erreur classique consiste à oublier de dériver le terme $x$ isolé ou à mal simplifier l'expression $x \times \frac{1}{x}$.

2. Limites et croissances comparées

L'étude de la limite en 0 demande de reconnaître une forme indéterminée. Ici, la présence de $x^2 \ln(x)$ doit immédiatement évoquer les croissances comparées. Il est indispensable de connaître par cœur la limite de référence $\lim_{x \to 0} x^n \ln(x)$ pour lever l'indétermination rapidement et conclure sur le comportement global de la fonction.

3. Racines d'un polynôme de degré 3

La recherche des solutions de $f(x)=0$ pour un polynôme de degré 3 peut sembler complexe, mais l'absence de terme constant permet une factorisation immédiate par $x$. Cela ramène le problème à la résolution d'une équation produit nul : $x(ax^2 + bx + c) = 0$. La maîtrise du discriminant ($\Delta$) pour le trinôme du second degré est alors nécessaire pour déterminer le nombre exact de solutions réelles.

4. Primitives et fonctions composées

Cette question théorique aborde le lien entre une fonction $h$ et sa primitive $H$. La difficulté réside dans la composition avec une fonction affine (ici $2x$). Il faut se rappeler comment la dérivation d'une fonction composée affecte les coefficients (réaction en chaîne) pour retrouver la primitive correcte. C'est un test de compréhension fine du lien dérivation/intégration.

5. Équation de la tangente

Pour trouver l'équation réduite de la tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$, il faut évaluer la fonction et sa dérivée en un point donné (ici $a=1$). La fonction impliquant l'exponentielle, la dérivation nécessite encore une fois l'usage de la formule du produit. La vigilance est de mise sur les simplifications algébriques impliquant le nombre $e$.

6. Inéquations et logarithmes

La résolution d'inéquations du type $q^n < A$ (avec $0 < q < 1$) est un classique des suites ou des fonctions exponentielles. L'utilisation du logarithme népérien est l'outil privilégié pour isoler l'inconnue $n$. Attention : l'application du logarithme conserve l'ordre, mais la division par $\ln(0,2)$ (qui est un nombre négatif car $0,2 < 1$) inverse le sens de l'inégalité. C'est le piège principal de cette question.