Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Polynésie 2024 (Sujet 2) aborde des thèmes classiques de la spécialité mathématiques : les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Ancré dans un contexte concret concernant les Jeux Olympiques et Paralympiques de Paris 2024, il demande une bonne capacité d'interprétation des données textuelles en termes mathématiques.

1. Modélisation par un arbre pondéré

La première étape cruciale est de traduire les pourcentages et les proportions donnés dans l'énoncé en probabilités. L'élève doit savoir :

• Identifier les événements (ici J pour l'intention de regarder les jeux et S pour la pratique sportive) et leurs contraires.
• Construire un arbre de probabilités complet pour visualiser les différentes issues et les probabilités conditionnelles associées.
• Utiliser la formule de l'intersection : $P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A)$. C'est indispensable pour démontrer le résultat de la première question.

2. Manipulation des probabilités et partition de l'univers

Dans la deuxième partie, l'exercice sollicite la compréhension de la formule des probabilités totales. Bien que souvent implicite, elle permet de déduire la probabilité d'une intersection manquante lorsqu'on connaît la probabilité totale d'un événement (ici $P(S)$) et celle d'une partie de ses composantes. La maîtrise de la formule de la probabilité conditionnelle inverse, $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, est également requise pour finaliser cette section.

3. Loi binomiale et prise de décision

La dernière partie introduit une variable aléatoire $X$ dans le cadre d'un tirage avec remise (assimilé). Les points clés pour réussir sont :

• Justification de la loi binomiale : Il faut explicitement citer la répétition d'épreuves identiques et indépendantes (Schéma de Bernoulli) pour définir les paramètres $n$ et $p$.
• Calcul de probabilité : L'utilisation correcte de la calculatrice pour déterminer $P(X=k)$ est attendue.
• Résolution de problème : La dernière question est plus ouverte. Elle lie la variable aléatoire à une contrainte budgétaire. L'élève doit poser une inéquation (Coût total > Budget) pour trouver le seuil critique de la variable aléatoire (par exemple $X > k$). Il s'agira ensuite de calculer la probabilité cumulative $P(X \ge k)$ pour conclure quant au risque de dépassement du budget.

Ce type d'exercice vérifie non seulement la maîtrise technique des calculs probabilistes, mais aussi la capacité à modéliser une situation réelle pour prendre une décision argumentée.