Analyse globale de l'exercice

Cet exercice du Baccalauréat 2023, tiré du Sujet 2 de Polynésie, est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il se divise en deux parties indépendantes qui balaient deux thèmes majeurs du programme : l'étude de l'évolution d'une probabilité à l'aide des suites numériques (probabilités conditionnelles et récurrence) et la modélisation d'une expérience aléatoire répétée via la loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

1. Modélisation par les Probabilités Conditionnelles et Arbres

La première partie (Partie A) demande de modéliser une situation d'entraînement sportif. L'élève doit être capable de traduire l'énoncé en termes probabilistes :

• Identifier les événements $R_n$ et leurs complémentaires.
• Construire un arbre pondéré décrivant le passage de l'étape $n$ à l'étape $n+1$. C'est une compétence fondamentale pour visualiser les probabilités conditionnelles données (exemple : probabilité de réussir demain sachant qu'on a réussi aujourd'hui).
• Utiliser la formule des probabilités totales pour établir une relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$. Cette étape constitue le pont entre le chapitre des probabilités et celui des suites.

2. Étude de Suites Numériques

Une fois la relation de récurrence $p_{n+1} = 0,6p_n + 0,3$ établie, l'exercice bascule sur une analyse purement analytique de suite :

• Suite auxiliaire géométrique : Il faut savoir démontrer qu'une suite auxiliaire $(u_n)$, définie par $u_n = p_n - \alpha$, est géométrique. Cela implique de calculer le rapport $u_{n+1} / u_n$ ou d'exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
• Expression explicite : Savoir passer de la forme récurrente à la forme explicite ($u_n$ en fonction de $n$, puis $p_n$ en fonction de $n$) est indispensable.
• Calcul de limites : L'étude de la convergence de la suite $(p_n)$ nécessite de connaître la limite de $q^n$ lorsque $0 < q < 1$. L'interprétation concrète de cette limite (stabilisation de la performance de l'athlète sur le long terme) est souvent demandée pour valider la compréhension du modèle.

3. Maîtrise de la Loi Binomiale

La Partie B aborde une situation d'épreuves indépendantes (Schéma de Bernoulli) :

• Justification de la loi : Il est crucial de savoir justifier l'utilisation de la loi binomiale (répétition identique et indépendante, deux issues possibles).
• Paramètres : Identifier clairement $n$ (nombre d'essais) et $p$ (probabilité du succès).
• Calculs de probabilités : L'utilisation efficace de la calculatrice pour déterminer $P(X=k)$ ou $P(X \geqslant k)$ est attendue. Attention aux arrondis demandés (ici à $10^{-3}$).

Ce type d'exercice "mixte" est très fréquent car il permet d'évaluer la capacité des candidats à mobiliser des connaissances transversales.