Analyse du sujet de Géométrie dans l'espace - Bac 2021 Polynésie

Cet exercice de spécialité mathématiques du Baccalauréat 2021 (Zone Polynésie) est un classique de la géométrie dans l'espace. Il s'appuie sur la manipulation de coordonnées dans un repère orthonormé associé à un cube et mobilise l'ensemble des notions fondamentales du chapitre : vecteurs, droites, plans et calculs de distances et de volumes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice et obtenir la note maximale, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels :

• Lecture de coordonnées et calcul vectoriel : L'exercice débute par une lecture graphique dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$. Il est crucial de ne pas se tromper sur les coordonnées des sommets du cube. Ensuite, l'utilisation de la relation vectorielle $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BH}$ permet de déterminer analytiquement les coordonnées d'un point intermédiaire.
• Propriétés géométriques élémentaires : Le candidat doit savoir calculer les longueurs des côtés d'un triangle à l'aide des coordonnées pour en déduire sa nature (ici, un triangle équilatéral). Le calcul de l'aire nécessite l'application rigoureuse des formules de géométrie plane.
• Équations de plans et vecteurs normaux : C'est le cœur du chapitre. Il faut savoir démontrer qu'un vecteur est normal à un plan (en vérifiant l'orthogonalité avec deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan) et en déduire l'équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$.
• Représentation paramétrique d'une droite : Savoir traduire la phrase « droite orthogonale au plan passant par un point » en un système d'équations paramétriques est indispensable. Le vecteur normal du plan devient le vecteur directeur de la droite.
• Intersection et Volume : La dernière partie demande de déterminer les coordonnées du pied de la hauteur (intersection droite/plan) pour calculer la hauteur de la pyramide. Enfin, l'application de la formule du volume d'une pyramide ($V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$) permet de conclure l'exercice.

Ce sujet est un excellent entraînement car il enchaîne logiquement les questions : les résultats des équations de plans et de droites sont réutilisés pour le calcul final du volume. La rigueur dans les calculs de fractions et la rédaction des justifications sont primordiales ici.