Cet exercice 2 du baccalauréat de mathématiques, issu de la session de Métropole 2026 (Sujet 1), représente un grand classique des sujets d'examen de fin d'année. Il se présente sous la forme d'un Vrai/Faux avec justification obligatoire, une modalité d'évaluation redoutée mais très formatrice. L'exercice est divisé en deux grandes thématiques fondamentales et distinctes du programme de la classe de Terminale : la géométrie dans l'espace d'une part, et le dénombrement couplé aux probabilités d'autre part. L'objectif n'est pas de deviner, mais d'élaborer une démonstration structurée pour chaque affirmation.

Compétences et clés de réussite

Pour aborder cet exercice avec un maximum de succès, les élèves doivent faire preuve d'une grande rigueur algébrique ainsi que d'une excellente capacité de représentation géométrique. Ce type d'exercice demande non seulement de percevoir intuitivement la bonne réponse, mais surtout de la prouver à l'aide d'un raisonnement déductif irréprochable et rigoureux.

1. Géométrie dans l'espace

La première partie de l'énoncé plonge immédiatement l'élève au cœur de la géométrie analytique tridimensionnelle, au sein d'un repère orthonormé classique. Plusieurs compétences incontournables sont évaluées à travers les trois premières affirmations :

• Orthogonalité et plan médiateur : La première affirmation vérifie votre capacité à faire le lien entre un plan défini par son équation cartésienne et une droite (ici définie par les deux extrémités du segment [AB]). Pour valider ou réfuter cette proposition, il est essentiel d'extraire le vecteur normal du plan à partir de son équation, puis de vérifier s'il est colinéaire au vecteur directeur de la droite. De surcroît, il faut s'assurer que le plan passe bien par le milieu du segment, ce qui implique le calcul rigoureux des coordonnées du milieu.
• Positions relatives de droites dans l'espace : L'affirmation suivante demande de statuer sur l'intersection potentielle de deux droites de l'espace. Vous devrez maîtriser le passage d'une droite définie par deux points à sa représentation paramétrique, puis poser et résoudre un système d'équations pour chercher un éventuel point d'intersection. Attention à l'écueil classique : il faut absolument utiliser des paramètres différents pour chaque droite lors de la résolution !
• Calcul d'angles et produit scalaire : La troisième affirmation sollicite vos connaissances approfondies sur le produit scalaire. En formant les vecteurs appropriés et en calculant leurs normes, la définition géométrique du produit scalaire, qui fait intervenir le cosinus de l'angle, permet de remonter directement à la mesure de l'angle cherché. L'utilisation pertinente de la calculatrice est requise pour obtenir la valeur arrondie demandée.

2. Dénombrement et Probabilités

La seconde partie change totalement de registre en s'appuyant sur un contexte ludique d'escape game. Elle fait appel aux notions de dénombrement introduites récemment dans le programme.

• Arrangements et combinaisons : Toute la subtilité de cette question repose sur la différence fondamentale entre les modalités de saisie des deux codes. D'un côté, la porte A exige une saisie dans un ordre précis de symboles distincts, ce qui renvoie au concept mathématique d'arrangement (c'est-à-dire un p-uplet d'éléments distincts). De l'autre côté, la porte B autorise la saisie dans n'importe quel ordre, ce qui fait directement écho au concept de combinaison (les sous-ensembles de p éléments parmi n).
• Probabilité uniforme : Une fois le nombre total de combinaisons et d'arrangements possibles correctement calculé pour chaque porte, il suffit de modéliser la situation par une loi de probabilité équirépartie. Le calcul de la probabilité de succès pour chaque candidat permettra enfin de comparer leurs chances respectives d'ouvrir la porte et de répondre définitivement à l'ultime affirmation de cet exercice de baccalauréat.

En résumé, cet exercice mêlant géométrie spatiale et dénombrement est extrêmement complet. Il valorise fortement les candidats capables d'adapter rapidement leurs outils mathématiques à des contextes variés et de rédiger des justifications claires, structurées et complètes. Ces qualités de rédaction et de raisonnement sont des éléments indispensables pour obtenir l'intégralité des points lors de l'épreuve du bac de mathématiques.