Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022 pour la zone Amérique du Sud (Sujet 2) propose une étude classique et structurée d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. Il est découpé en deux parties interdépendantes, une configuration fréquente dans les épreuves du bac.

1. Étude de la fonction auxiliaire

La première partie (Partie A) introduit une fonction $g$ dont l'objectif est d'étudier le signe pour l'utiliser ultérieurement. Les compétences clés incluent :

• Calcul de limites : Il faut maîtriser les limites usuelles en $0$ et $+\infty$, notamment les croissances comparées si nécessaire.
• Dérivation : Savoir dériver une expression de la forme $x \ln(x)$ en utilisant la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : L'exercice demande de prouver l'existence de solutions à l'équation $g(x)=0$. Une rédaction rigoureuse est attendue (continuité, stricte monotonie, calcul des images aux bornes).
• Tableau de signes : Il est crucial de déduire correctement le signe de $g(x)$ à partir de ses variations et de ses racines, car cela déterminera le signe de la dérivée de la fonction principale.

2. Étude de la fonction principale et convexité

La Partie B se concentre sur la fonction $f$. Les points techniques à maîtriser sont :

• Levée d'indétermination : Pour la limite en $+\infty$, il est nécessaire de factoriser par $x$ pour faire apparaître des limites usuelles du type $\frac{\ln(x)}{x}$.
• Lien entre $f'$ et $g$ : L'élève doit montrer que la dérivée de $f$ s'exprime en fonction de $g$. C'est une étape charnière : une erreur ici compromet l'étude des variations.
• Convexité et point d'inflexion : La dernière question aborde la dérivée seconde. Il s'agit d'étudier le signe de $f''(x)$ pour déterminer les intervalles de convexité et de concavité, ainsi que la position du point d'inflexion (là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe).

Cet exercice est un excellent entraînement pour synthétiser les connaissances sur les fonctions logarithmes et la structure logique d'un problème d'analyse.