Analyse de l'Exercice 2 : Métropole Sujet 1 2025

Cet exercice est un classique de l'épreuve du Baccalauréat, combinant une analyse graphique, une étude de fonction approfondie et du calcul intégral. Il mobilise l'ensemble des compétences attendues en analyse sur la fonction logarithme népérien.

Compétences et clés de réussite

1. Interprétation graphique et dérivées

La première partie demande de faire le lien entre l'aspect visuel de la courbe et les propriétés analytiques de la fonction. Les points clés pour réussir sont :

• Le nombre dérivé : Savoir lire le coefficient directeur d'une tangente. Ici, il faut utiliser les coordonnées des points A et C pour déterminer la pente de la tangente en A.
• Le signe de la dérivée seconde : Comprendre que $f''(x)$ est liée à la convexité de la courbe. Une courbe convexe ("tournée vers le haut") implique une dérivée seconde positive.

2. Étude analytique et changement de variable

La Partie B approfondit l'étude avec l'expression algébrique de la fonction $f(x) = x[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2]$.

• Équations avec logarithmes : La résolution passe par un changement de variable $X = \ln x$. Il est crucial de savoir résoudre un polynôme du second degré puis de revenir à la variable $x$.
• Limites et croissances comparées : L'étude en $+\infty$ nécessite de lever une forme indéterminée en factorisant ou en utilisant les théorèmes de croissances comparées usuels.
• Convexité et point d'inflexion : Le calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ permet de trouver l'abscisse où la convexité change. C'est le point d'inflexion, moment où la courbe traverse sa tangente.

3. Intégration et Calcul d'aire

La dernière partie est souvent la plus technique pour les élèves :

• Équation de tangente : Il faut appliquer la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ avec précision au point B.
• Intégration par parties (IPP) : Pour calculer l'intégrale de $x \ln x$, la méthode de l'intégration par parties est imposée. Le choix des fonctions $u(x)$ et $v'(x)$ est déterminant pour simplifier le calcul.
• Aire entre deux courbes : Le calcul final de l'aire $\mathcal{A}$ nécessite de poser l'intégrale de la différence entre la fonction $f$ et l'équation de la tangente (ou inversement selon la position relative démontrée plus tôt). Ne pas oublier les unités d'aire.

En résumé, cet exercice demande une grande rigueur dans le calcul algébrique (manipulation de $\ln$) et une bonne maîtrise des primitives.