Analyse de l'Exercice 4 : Un Vrai/Faux transversal sur l'analyse

L'exercice 4 du sujet 1 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 pour la Métropole est un classique de type Vrai/Faux avec justification. Ce format est particulièrement exigeant car il ne suffit pas d'intuitionner la réponse ; chaque affirmation nécessite une démonstration rigoureuse ou un contre-exemple explicite pour valider le point. L'exercice balaie un large spectre du programme d'analyse, allant de la lecture de tableaux de variations à l'étude fine de fonctions transcendantes (exponentielle et logarithme).

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent mobiliser plusieurs compétences clés du programme de Terminale :

• Interprétation des tableaux de variations : La première partie repose sur la capacité à lire les limites aux bornes et à en déduire l'existence d'asymptotes horizontales ou verticales. Il est crucial de ne pas confondre l'équation d'une asymptote (de la forme $y=k$ ou $x=k$) avec les valeurs atteintes par la fonction. De plus, le calcul de limites composées ou de quotients (forme indéterminée ou limite infinie) est testé ici.
• Calcul dérivé et Convexité : La deuxième partie introduit une fonction faisant intervenir l'exponentielle ($g(x) = xe^{-x}$). La maîtrise de la dérivée seconde est indispensable pour étudier la convexité de la fonction. L'élève doit savoir que les points d'inflexion correspondent aux valeurs où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. Une simple annulation ne suffit pas.
• Comparaison de fonctions : L'étude de l'inégalité $g(x) \leqslant x$ demande souvent de passer par l'étude d'une fonction auxiliaire (la différence des deux termes) ou d'utiliser les propriétés de croissance comparée et le signe des expressions algébriques.
• Logarithme et TVI : La dernière affirmation porte sur l'équation $x \ln(x) = 1$. Ici, la clé réside dans l'étude des variations de la fonction $x \mapsto x \ln(x)$ sur $]0; +\infty[$. L'application correcte du Théorème des Valeurs Intermédiaires (ou de son corollaire pour les fonctions strictement monotones) est attendue pour dénombrer les solutions exactes. Il faut être vigilant sur les limites en 0 (croissance comparée) et en $+\infty$.

En résumé, cet exercice ne demande pas seulement de savoir calculer, mais de savoir raisonner et structurer une argumentation logique. La justification est le cœur de la notation : un "Vrai" ou "Faux" sans preuve mathématique solide (calcul de limite, dérivée, tableau de variation) ne rapporte aucun point.