Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022 (Métropole, Sujet 2) est un classique de la géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des notions fondamentales attendues en Terminale sur ce chapitre, en s'appuyant sur un support visuel simple : un cube muni d'un repère orthonormé.

1. Repérage et calcul vectoriel

La première étape consiste à maîtriser la lecture de coordonnées dans un repère défini par les arêtes du cube. C'est la base de tout l'exercice. Une erreur ici se répercuterait sur la suite. Il faut ensuite savoir manipuler les coordonnées de vecteurs pour démontrer l'orthogonalité via le produit scalaire (un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan).

2. Équations de plans et de droites

L'exercice demande de passer de la géométrie vectorielle à la géométrie analytique :

• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal et d'un point.
• Établir la représentation paramétrique d'une droite orthogonale à ce plan.

3. Projections et distances

Une partie centrale du problème concerne le projeté orthogonal d'un point sur un plan. Pour réussir, l'élève doit comprendre que ce point est l'intersection entre le plan et la droite orthogonale passant par le point extérieur. Une fois les coordonnées trouvées, le calcul de distance permet d'obtenir la hauteur du tétraèdre.

4. Calculs de volumes et aires

La fin de l'exercice lie les calculs analytiques aux formules géométriques. Il s'agit d'utiliser la formule du volume d'un tétraèdre (\(V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}\)) de deux manières différentes :

• Calcul direct via une base simple (triangle rectangle) et une hauteur évidente.
• Déduction de l'aire d'une base plus complexe (le triangle EGK) en utilisant le volume calculé précédemment et la hauteur trouvée par projection orthogonale.