Analyse de l'exercice : Géométrie vectorielle dans un cube

Cet exercice du Bac 2021 (Sujet 0) est un classique de la géométrie dans l'espace. Il s'appuie sur un cube pour définir un repère orthonormé naturel, ce qui facilite grandement les calculs de coordonnées. L'objectif est de mobiliser les connaissances sur les vecteurs, les plans, les droites et les calculs de volumes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de mathématiques :

1. Repérage et Coordonnées

La première étape consiste à lire graphiquement ou déduire les coordonnées de points (ici I et J) dans le repère défini par les arêtes du cube. Une erreur d'inattention ici se répercutera sur tout le problème. Il faut être attentif à l'ordre des vecteurs de base et aux coefficients de colinéarité (milieu, symétrie).

2. Vecteurs normaux et Équation de plan

Une compétence clé est de savoir démontrer qu'un vecteur est normal à un plan. La méthode standard attendue consiste à vérifier, via le produit scalaire, que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ici $\vv{BI}$ et $\vv{BG}$). Une fois le vecteur normal identifié (coordonnées $a, b, c$), l'équation cartésienne du plan s'écrit immédiatement sous la forme $ax + by + cz + d = 0$. La valeur de $d$ se trouve en utilisant les coordonnées d'un point appartenant au plan.

3. Droites et représentations paramétriques

L'exercice demande de déterminer la représentation paramétrique d'une droite passant par un point et orthogonale à un plan. La clé de réussite est de comprendre que le vecteur directeur de cette droite est précisément le vecteur normal au plan trouvé précédemment. Cette connexion entre la géométrie plane et la géométrie de droite est essentielle.

4. Intersection et Volumes

Le calcul de l'intersection entre une droite et un plan nécessite de résoudre un système simple où l'on injecte les équations paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan pour trouver le paramètre $t$. Enfin, la dernière partie lie la géométrie analytique à la géométrie euclidienne pure en demandant un calcul de volume de tétraèdre (pyramide). L'astuce réside souvent dans l'utilisation de la formule du volume $V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$ dans les deux sens : pour calculer un volume ou, connaissant le volume et la hauteur (distance point-plan), pour en déduire l'aire d'une base (ici le triangle BGI).