Analyse de l'exercice : Géométrie dans l'espace au Bac 2022

Cet exercice 4 du sujet 1 de Métropole (session de septembre 2022) est un classique de la géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des connaissances attendues en Terminale sur le repérage spatial, les vecteurs, et les calculs métriques (distances, aires, volumes). L'objectif est d'étudier une configuration composée de points, d'une droite et d'un plan dans un repère orthonormé.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences techniques essentielles :

• Représentations paramétriques de droites : Savoir déterminer un vecteur directeur à partir de deux points (ici D et E) et écrire le système d'équations paramétriques associé. Il est également demandé de savoir translater cette droite à l'origine (droite parallèle passant par O).
• Appartenance d'un point : Vérifier si un point appartient à une droite ou à un plan en testant la cohérence de ses coordonnées avec les équations données.
• Équations cartésiennes de plans : Comprendre le lien entre le vecteur directeur d'une droite orthogonale à un plan et le vecteur normal de ce plan. Ici, la démonstration que la droite est perpendiculaire au plan (ABC) fournit directement le vecteur normal nécessaire pour écrire l'équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$.
• Projection orthogonale : Savoir déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan. Cela revient techniquement à trouver le point d'intersection entre le plan et la droite perpendiculaire à ce plan passant par le point considéré.
• Calculs géométriques : Utiliser le produit scalaire pour démontrer qu'un triangle est rectangle, calculer des distances dans l'espace, et appliquer la formule du volume d'un tétraèdre ($V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$).

Une attention particulière doit être portée à la rigueur de la rédaction, notamment pour justifier que trois points définissent un plan (non-alignement) et pour les calculs de produits scalaires. La dernière partie sur le volume du tétraèdre synthétise les résultats précédents (aire du triangle rectangle de base et hauteur issue de la projection orthogonale).